参赛密码（由组委会填写）第十一届华为杯全国研究生数学建模竞赛学校东南大学参赛队号10286119队员姓名1.吕亮2.荆丽3.巨晓正参赛密码（由组委会填写）第十一届华为杯全国研究生数学建模竞赛题目机动目标的跟踪与反跟踪摘要：目标跟踪是指根据传感器（如雷达等）所获得的对目标的测量信息，连续地对目标的运动状态进行估计，进而获取目标的运动态势及意图。

目标跟踪理论在军、民用领域都有重要的应用价值。

目标机动是指目标的速度大小和方向在短时间内发生变化，通常采用加速度作为衡量指标。

机动目标跟踪的难点在于以下几个方面：(1) 描述目标运动的模型即目标的状态方程难于准确建立。

通常情况下跟踪的目标都是非合作目标，目标的速度大小和方向如何变化难于准确描述；(2) 传感器自身测量精度有限加之外界干扰，传感器获得的测量信息如距离、角度等包含一定的随机误差，用于描述传感器获得测量信息能力的测量方程难于完全准确反映真实目标的运动特征；(3) 当存在多个机动目标时，除了要解决(1)、(2)两个问题外，还需要解决测量信息属于哪个目标的问题，即数据关联。

本文主要对监测传感器的得到的目标数据进行分析，建立适当的跟踪模型，从而获取目标的运动态势及意图，达到跟踪的目的。

由于以上多个挑战因素以及目标机动在战术上主动的优势，机动目标跟踪已成为近年来跟踪理论研究的热点和难点。

关键词：单目标模型目标跟踪一、问题重述现有3组机动目标的测量数据，数据分别包含在Data1.txt，Data2.txt，Data3.txt文件中，其中Data1.txt为多个雷达站在不完全相同时刻获得的单个机动目标的测量数据，Data2.txt为某个雷达站获得的两个机动目标的测量数据，Data3.txt为某个雷达站获得的空间目标的测量数据。

数据文件中观测数据的数据结构如下：其中Data1.txt和Data2.txt数据的坐标系表示如下：原点O为传感器中心，传感器中心点与当地纬度切线方向指向东为x轴，传感器中心点与当地经度切线方向指向北为y轴，地心与传感器中心连线指向天向的为z轴，目标方位指北向顺时针夹角（从y轴正向向x轴正向的夹角，范围为0~360°），目标俯仰指传感器中心点与目标连线和地平面的夹角（即与xOy平面的夹角，通常范围-90°到90°）。

Data1.txt中的雷达坐标和测量误差如下：Data2.txt雷达坐标为[0,0,0]。

对应两个目标的测量误差如下：Data3.txt的雷达坐标和测量误差为：其余格式与Data1.txt和Data2.txt相同。

需完成的问题：1. 根据附件中的Data1.txt数据，分析目标机动发生的时间范围，并统计目标加速度的大小和方向。

建立对该目标的跟踪模型，并利用多个雷达的测量数据估计出目标的航迹。

鼓励在线跟踪。

2. 附件中的Data2.txt数据对应两个目标的实际检飞考核的飞行包线（检飞：军队根据国家军标规则设定特定的飞行路线用于考核雷达的各项性能指标，因此包线是有实战意义的）。

请完成各目标的数据关联，形成相应的航迹，并阐明你们所采用或制定的准则（鼓励创新）。

如果用序贯实时的方法实现更具有意义。

若出现雷达一段时间只有一个回波点迹的状况，怎样使得航迹不丢失？请给出处理结果。

3. 根据附件中Data3.txt的数据，分析空间目标的机动变化规律(目标加速度随时间变化)。

若采用第1问的跟踪模型进行处理，结果会有哪些变化？4. 请对第3问的目标轨迹进行实时预测，估计该目标的着落点的坐标，给出详细结果，并分析算法复杂度。

5. Data2.txt数据中的两个目标已被雷达锁定跟踪。

在目标能够及时了解是否被跟踪，并已知雷达的测量精度为雷达波束宽度为3°，即在以雷达为锥顶，雷达与目标连线为轴，半顶角为1.5°的圆锥内的目标均能被探测到；雷达前后两次扫描时间间隔最小为0.5s。

为应对你们的跟踪模型，目标应该采用怎样的有利于逃逸的策略与方案？反之为了保持对目标的跟踪，跟踪策略又应该如何相应地变换？二、单目标模型分析与建立常用的单模型有匀速模型（CV ）、匀加速模型（CA ）、Signer 模型和均值自适应的“当前”统计模型（CS ）；多模型有交互式多模型（IMM ）。

机动强度不大时，可以采用CA 模型或者Singer 模型；机动强度较大时，采用CS 模型后IMM 可以取得较好的效果。

2.1.1常速运动模型（CV ）目标处于匀速直线运动时，它的状态可以用离散匀速模型来表述。

考虑到目标的运动状态往往受到一定程度的随机噪声干扰（如气流、机械振动等影响）一维情况下的离散状态方程为：其中过程噪声w(k)是一零均值的高斯白噪声序列。

现实世界中的大部分运动目标都存在各种机动，目标做匀速直线飞行的概率很小，采用CV 模型一般是不可取的，只有当目标做匀速直线飞行或者近似匀速直线飞行时才能取得很好的效果。

2.1.2 匀加速模型（CA ） CA 模型可以表示为：式中，，，x x x 分别为运动目标的位置、速度和加速度分量，w(t)是均值为零，方差为δ^2的高斯白噪声。

2.1.3 “当前”统计模型（CS ）当目标正以某一加速度机动时，下一时刻的加速度取值是有限的，且只能在“当前”加速度的邻域内。

“当前”统计模型本质上是非零均值时间相关模型，其机动加速度的“当前”概率密度用修正的瑞利分布描述，均值为“当前”加速度预测值，随机机动加速度在时间轴上仍符合一阶时间相关过程，即式中，a （t ）为机动加速度“当前”均值，α为机动频率。

一维情况下的离散状态方程为：F)1((kx)1k(=+++x+()1w)(kkk)()(Ua)k式中式中T为采样周期。

a（k）为“当前”加速度均值。

α为机动事件常数的倒数（机动频率）。

测量方程为：y(k+1)=H(k+1)x(k+1)+v(k+1) (2)过程噪声w(k)和量测噪声v(k)是均值为零的高斯白噪声序列。

H(k+11为量测矩阵。

改进的CS算法：基于STF 的“当前”统计模型和自适应跟踪算法(STFCS)[6]采用如下的强跟踪滤波器(STF)算法进行滤波，即得到了STFCS算法：式(6)中γ（k+1)为渐消因子，为适合在线运算，一种次优的近似算法如下[11]：其中V0（k+1）是残差方差矩阵0<P≤1是遗忘因子，一般取ρ=0．95。

β是弱化因子，可根据经验值来选定。

r(1）是初始残差。

把的一步预测看作在kT时刻的“当前”加速度即随机机动加速度的均值，就可得到系统噪声方差计算式为：将F(k+1,k)和U(k)代入式(4)后得到：其中STFCS算法借鉴强跟踪滤波器的思想，通过引入时变的渐消因子λ(k+1)，促使测量残差近似正交，使得滤波器关于模型不确定保持了较好的鲁棒性。

并根据输出残差r(k)实时调节过程噪声方差P(k+1|k)和系统增益K(k)，增大了目标状态估计的补偿值，从而提高对机动目标估计和跟踪精度。

在跟踪一般机动目标时，输出残差方差较小，使得渐消因子λ(k+1)为1，此时本算法退化为原“当前”统计模型及自适应算法，保持了对一般机动目标的较高跟踪精度。

在目标发生突发机动或者机动加速度变化较大时，强跟踪滤波器根据残差的增大而增大渐消因子，自适应地调节增益，迫使残差近似正交，从而提高状态突变时的跟踪性能。

整体上STFCS算法可以较好的自适应跟踪大小机动目标。

强跟踪滤波器(STF)本身是收敛的，基于STF的“当前”统计模型及自适应算法STFCS仍然保持了原“当前”统计模型及自适应跟踪算法的收敛性。

2.1.4 交互式多模型算法（IMM算法）假定有r 个模型：()()()1,1,,j j j k F k G V k j r +=+=X X K其中，()j k W 是均值为零、协方差矩阵为j Q 的白噪声序列。

用一个马尔可夫链来控制这些模型之间的转换，马尔可夫链的转移概率矩阵为：1111r r rr p p p p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P LM OM L测量模型为：()()()()j j j k H k k W k =+Z X IMM 算法步骤可归纳如下： ①、输入交互()()()()()()(){()()()}()()(){}()111ˆˆ1/11/11/11/1ˆ1/11/11/1ˆˆˆ1/11/11/11/11/,1/roj i iji oj ri i ij i Toj i oj k ij i i ij i jk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k P M k M k p k c μμμμ==---=------⎡=----+--⎣⎤⎡⎤--------⎦⎣⎦--=-=-∑∑X X P P X X X X Z其中1,,j r =，ij p 是模型i 转到模型j 的转移概率，j c 为规一化常数，()11rj ij i i c p k μ==-∑②、对应于模型()j M k ，以()ˆ1/1oj k k --X，()1/1oj k k --P 及()k Z 作为输入进行Kalman 滤波。

1）预测()()()0ˆˆ/1,11/1j j jk k F k k k k -=---X X 2）预测误差方差阵()()()()()()()0/1,11/1,1 111j j T j j X X Tj jk k F k k k k F k k G k k Gk -=----+---P P Q %%3）卡尔曼增益()()()()()()()1/1/1j T j Tj X X k k k H k H k k k H k k -⎡⎤=--+⎣⎦K P P R %% 4）滤波()()()()()()ˆˆˆ//1/1j j j j k k k k k k H k k k ⎡⎤=-+--⎣⎦X X K Z X 5）滤波误差方差阵 ()()()()//1j jj X X k k k H k k k ⎡⎤=--⎣⎦P I K P %% ③、模型概率更新()(){}()(){}(){}()()()111//,/11/k k k j j j j rj ij i j j i k P M k P k M k P M k k p k k c c c μμ--====Λ-=Λ∑Z Z Z Z其中，c 为归一化常数，且()1rj j j c k c ==Λ∑，而()j k Λ为观测()k Z 的似然函数，()()(){}()()()111/2/211/,exp 22k T j j j j j n j k P k M k k k π--⎧⎫Λ==-⎨⎬⎩⎭Z Z υS υS ()()()()()()()()()ˆ/1/1j j T j j X k k H k k k k H k k k H k k =--=-+υZ X S P R ，%④、输出交互()()()1ˆˆ//rj jj k k k k k μ==∑X X ()()()()(){()()}1ˆˆˆˆ//////rTjj j j j k k k k k k k k k k k k k μ=⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦∑P P X X X X三、参考文献[1] Sody，交互式多模型,/view/3896755.htm?fr=a laddin,2014.09.21.[2] 周宏仁，敬忠良，王培德．机动目标跟踪{M1．北京：国防工业出版社．1991：134_176．[3] Zhou H R and Kumar K S P，A current statistical model and adaptive algorithm for estimating maneuvering targets[J]．AIAA Journal of Gui- -dance，1984，7(5)：596-602.[4] Blom H A P and Bar．Shalom Y，The interactive multiplemodel algorithm for system with markov switching coeficients[J]．IEEE TFans．on Automatic Control，1988，33(8)：780-783.[5] Li X R and Bar-Shalom Y．Performance prediction of the interacting multiple model algorithm [J]，IEEE Trans．on Aerospace and Electronics，1993，29(13)：755_-771．[6] 范小军，刘峰.一种新的机动目标跟踪的多模型算法[J].电子与信息学报，2007年3期[7] Messaoudi Z, Ouldali A, Oussalah M. Joint multiple target tracking and classification using controlled based cheap JPDA-multiple model particle filter in cluttered environment. ICISP, 2008:562－569. [8]Lee HK, Ko HS. Predictive estimation method to track occluded multiple objects using jointprobabilistic data association filter. ICIAR, 2005:852－860.[9]Shafique K, Lee MW, Haering NC. A rank constrained continuous formulation of multi-frame multi-target tracking problem. CVPR, 2008:1－8.[10]Chia AYS, Huang WM. Multiple objects tracking with multiple hypotheses dynamic updating. ICIP,2006:569－572.。