一元二次方程解应用题的6种题型
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，两者的解题方法类似，但由于一元二次方程有两个实数解，所以需要注意检验得出的方程的解是否具有实际意义。
其一般步骤如下：
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系。
（2）设：选用适当的方式设未知数（直接设未知数或者间接设未知数），不要漏写单位，用含未知数的代数式表示题目中涉及的量。
（3）列：根据题目中的等量关系，用含有未知数的代数式表示其他未知量，列出含未知数的等式。
注意等号两边量的单位保持一致。
（4）解：解所列的方程，求出未知数的值。
（5）验：一是检验得到的未知数的值是否为方程的解（在草稿纸上自行验证），二是检验方程的解是否符合题意（需要在答题过程中明确说明）。
（6）答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位。
题型1：增长率（降低率）问题
涉及关系式：增产量=原产量×增产率、增长后的产量=原产量×（1+增产率）例1某些养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x.
（1）用x的代数式表示第三年的可变成本为万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x。
分析：（1）由第1年的可变成本为2.6万元可以表示出第2年的可变成本为2.6（1+x）万元，同样的根据第2年的可变成本，可以写出第3年的可变成本为2.6（1+x）2万元；（2）再根据“养殖成本=固定成本+可变成本”建立方程求解即可。
解：（1）2.6（1+x）2；
（2）根据题意有：4+2.6（1+x）2=7.146，解之得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）答：可变成本平均每年增长的百分率是10%。
点拨：增长率问题，若基数为a，平均增长率为x，则增长n次后的值为a(1+x)n.
题型2：利息问题
涉及关系式：利息=本金×利率×时间，本息和=本金+利息
例2某年，小明将1000元压岁钱以一年定期存入银行，一年后取出500元购买学习用品，剩下的500元和应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共660元，求存款的年利率（不计利息税）。
分析：设存款的年利率为x ，第一年：本金为1000，本息和为1000（1+x ）元；第二年：本金为[1000（1+x ）-500]元，本息和为[1000（1+x ）-500]（1+x ）=660元。
解：设存款的年利率为x ，由题意得：[1000（1+x ）-500]（1+x ）=660，整理得：50x 2+75x-8=0，解之得：x 1=%10101=，x 2=5
8-（不合题意，舍去）答：存款的年利率为10%。
注意：对于存款利息问题，解题时要注意每次增长的基础量是否相同。
题型3：数字问题
数的表示方法关系式：两位数=十位数字×10+个位数字、三位数=百位数×100+十位数字×10+个位数字......
三个连续整数可设为x-1，x ，x+1，三个连续的奇数（偶数）可x-2，x ，x+2......
例3一个两位数等于它个位上的数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，求这两位数。
解：设个位上的数字为x ，那么十位上的数字为x-3
由题意得：10（x-3）+x=x 2，即x 2-11x+30=0
解得：x 1=5，x 2=6
当x=5时，x-3=2，这两位数是25；
当x=6时，x-3=3，这两位数是36；
答：两位数是25或36。
点拨：解决有关多位数的问题时，一般不直接设出这个多位数，而是间接设某个数位上的数字，再用代数式表示出其余数位上的数字。
题型4：利润问题
涉及关系式：利润=售价-成本（进货价）、利润率=利润÷成本价（进货价）×100%
例4山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，若单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，每千克核桃应降低多少元？
分析：利润=售价=进价，所以每千克核桃降价x 元后获利（60-40-x ）元，每天售出
核桃量可增加）（202
⨯x 千克，每天总售出核桃量为）（202
100⨯+x 千克。
解：设每千克核桃应降低x 元，则有()2240202
1004060=⨯+--）（x x 整理得：024102=+-x x ，解得6
,421==x x 答：每千克核桃应降低4元或6元时，平均每天能获利2240元。
题型5：图形面积问题
例5如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为
12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，
在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、
宽分别为多少时，猪舍面积为80m 2？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边唱为xm ，则矩形猪舍的另一边长为（25-2x+1）m
根据题意得：x （25-2x+1）=80，整理：x 2-13x+40=0，解得：8,521==x x 当x=5时，25-2x+1=16>12（不符合题意，舍去）
当x=8时，25-2x+1=10<12
答：所围矩形猪舍的长为10m ，宽分别为8m 时，猪舍面积为80m 2。
类型6：动点问题
点拨：解决动点问题的关键是根据动点运动时的起点和终点等条件列出方程求解
例6如图，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm ，BC=3cm ，点P 从点A
开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动。
如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过多长时间，P 、Q 两点之间的距离等于24cm ？
解：设出发t 秒后，PQ=24cm
此时，AP=tcm ，BQ=2tcm ，那么BP=AB-AP=（6-t ）cm
在RT △PBQ 中，由勾股定理得：PQ 2=BP 2+BQ 2即：()()()2
222624t t +-=，整理得：041252=+-t t 解得：t 1=2，t 2=0.4
当t=2时，BQ=2t=4>3，不符合题意，舍去
答：出发后经过0.4秒，P 、Q 两点之间的距离等于24cm 。