一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n.Page 1 of 17 让每一个学生超越老师!二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,解这个方程,得a1=25,a2=31.因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去.所以350-10a=350-10×25=100(件).答需要进货100件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0.Page 2 of 17 让每一个学生超越老师!Page 3 of 17 让每一个学生超越老师! 解这个方程,得x 1≈0.0204=2.04%,x 2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x 2≈-1.63舍去.答 第一次存款的年利率约是2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?解 设渠道的深度为x m ,那么渠底宽为(x +0.1)m ,上口宽为(x +0.1+1.4)m.则根据题意,得12(x +0.1+x +1.4+0.1)·x =1.8,整理,得x 2+0.8x -1.8=0. 解这个方程,得x 1=-1.8(舍去),x 2=1. 所以x +1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m ,渠深1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.五、古诗问题例5读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位学子算得快,多少年华属周瑜?解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6.当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分Page 4 of 17 让每一个学生超越老师!Page 5 of 17 让每一个学生超越老师! 别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有n 个选手参加比赛,每个选手都要与(n -1)个选手比赛一局,共计n (n -1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为12n (n -1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n (n -1)分.显然(n -1)与n 为相邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n (n -1)=1980,得n 2-n -1980=0,解得n 1=45,n 2=-44(舍去).答 参加比赛的选手共有45人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?解 设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25=25000<27000,所以员工人数一定超过25人.Page 6 of 17 让每一个学生超越老师! 则根据题意,得[1000-20(x -25)]x =27000.整理,得x 2-75x +1350=0,解这个方程,得x 1=45,x 2=30. 当x =45时,1000-20(x -25)=600<700,故舍去x 1; 当x 2=30时,1000-20(x -25)=900>700,符合题意. 答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.八、等积变形图1如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低于700如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元.Page 7 of 17 让每一个学生超越老师! 例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m )(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. (2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.解 都能.(1)设小路宽为x ,则18x +16x -x 2=23×18×15,即x 2-34x +180=0, 解这个方程,得x 34436,即x ≈6.6. (2)设扇形半径为r ,则3.14r 2=23×18×15,即r 2≈57.32,所以r ≈7.6. 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.图2 Q PC BA 图4图3Page 8 of 17 让每一个学生超越老师! 九、动态几何问题例9 如图4所示,在△ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动,点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.(1)如果P 、Q 同时出发,几秒钟后,可使△PCQ 的面积为8平方厘米?(2)点P 、Q 在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.解 因为∠C =90°,所以AB 22AC BC +2268+10(cm ).(1)设x s 后,可使△PCQ 的面积为8cm 2,所以 AP =x cm ,PC =(6-x )cm ,CQ =2x cm.则根据题意,得12·(6-x )·2x =8.整理,得x 2-6x +8=0,解这个方程,得x 1=2,x 2=4.所以P 、Q 同时出发,2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2. (2)设点P 出发x 秒后,△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半.则根据题意,得12(6-x )·2x =12×12×6×8.整理,得x 2-6x +12=0. 由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻.Page 9 of 17 让每一个学生超越老师! 说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m. (1)若梯子的顶端下滑1m ,求梯子的底端水平滑动多少米? (2)若梯子的底端水平向外滑动1m ,梯子的顶端滑动多少米?(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?解 22106 =8(m ).(1)若梯子顶端下滑1m ,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m. 则根据勾股定理,列方程72+(6+x )2=102,整理,得x 2+12x -15=0, 解这个方程,得x 1≈1.14,x 2≈-13.14(舍去), 所以梯子顶端下滑1m ,底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m 时,设梯子顶端向下滑动x m. 则根据勾股定理,列方程(8-x )2+(6+1)2=100.整理,得x 2-16x +13=0. 解这个方程,得x 1≈0.86,x 2≈15.14(舍去).Page 10 of 17 让每一个学生超越老师! 所以若梯子底端水平向外滑动1m ,则顶端下滑约0.86m. (3)设梯子顶端向下滑动x m 时,底端向外也滑动x m.则根据勾股定理,列方程 (8-x )2+(6+x )2=102,整理,得2x 2-4x =0, 解这个方程,得x 1=0(舍去),x 2=2.所以梯子顶端向下滑动2m 时,底端向外也滑动2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11 如图5所示,我海军基地位于A 处,在其正南方向200海里处有一重要目标B ,在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ,小岛D 恰好位于AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向,一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航.一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D 和小岛F 相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)F EDC B A图5Page 11 of 17 让每一个学生超越老师! 解(1)F 位于D 的正南方向,则DF ⊥BC .因为AB ⊥BC ,D 为AC 的中点,所以DF =12AB =100海里,所以,小岛D 与小岛F 相距100海里.(2)设相遇时补给船航行了x 海里,那么DE =x 海里,AB +BE =2x 海里,EF =AB +BC -(AB +BE )-CF =(300-2x )海里.在Rt △DEF 中,根据勾股定理可得方程x 2=1002+(300-2x )2,整理,得3x 2-1200x +100000=0.解这个方程,得x 1=200-63≈118.4,x 2=200+63. 所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示,正方形ABCD 的边长为12,划分成12×12个小正方形格,将边长为n (n 为整数,且2≤n ≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张n ×n 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的n ×n 个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n -1)×(n -1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD 的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题:Page 12 of 17 让每一个学生超越老师! (1)由于正方形纸片边长n 的取值不同,•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表:纸片的边长n2 3 4 5 6使用的纸片张数(2)设正方形ABCD 被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S 1,未被盖住的面积为S 2.①当n =2时,求S 1∶S 2的值;②是否存在使得S 1=S 2的n 值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 解(1)依题意可依次填表为:11、10、9、8、7. (2)S 1=n 2+(12-n )[n 2-(n -1)2]=-n 2+25n -12.①当n =2时,S 1=-22+25×2-12=34,S 2=12×12-34=110. 所以S 1∶S 2=34∶110=17∶55. ②若S 1=S 2,则有-n 2+25n -12=12×122,即n 2-25n +84=0, 解这个方程,得n 1=4,n 2=21(舍去). 所以当n =4时,S 1=S 2.所以这样的n 值是存在的.图6Page 13 of 17 让每一个学生超越老师! 说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解第(3)小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.解(1)设剪成两段后其中一段为x cm ,则另一段为(20-x )cm.则根据题意,得24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2204x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=17,解得x 1=16,x 2=4,当x =16时,20-x =4,当x =4时,20-x =16, 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.Page 14 of 17 让每一个学生超越老师!(2)不能.理由是:不妨设剪成两段后其中一段为y cm ,则另一段为(20-y )cm.则由题意得24y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2204y -⎛⎫⎪⎝⎭=12,整理,得y 2-20y +104=0,移项并配方,得(y -10)2=-4<0,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b 2-4ac 来判定.若b 2-4ac ≥0,方程有两个实数根,若b 2-4ac <0,方程没有实数根,本题中的b 2-4ac =-16<0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形ABCD 中,AB =DC =5,AD =4,BC =10.点E•在下底边BC 上,点F 在腰AB 上.(1)若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长,设BE 长为x ,试用含x 的代数式表示△BEF 的面积;(2)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE 的长;若不存在,请说明理由;(3)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求此时BE 的长;若不存在,请说明理由.解(1)由已知条件得,梯形周长为12,高4,面积为28.过点F 作FG ⊥BC 于G ,过点A 作AK ⊥BC 于K .FEDCBA 图7 K GPage 15 of 17 让每一个学生超越老师! 则可得,FG =125x×4, 所以S △BEF =12BE ·FG =-25x 2+245x (7≤x ≤10). (2)存在.由(1)得-25x 2+245x =14,解这个方程,得x 1=7,x 2=5(不合题意,舍去),所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分,此时BE =7. (3)不存在.假设存在,显然有S △BEF ∶S 多边形AFECD =1∶2,即(BE +BF )∶(AF +AD +DC )=1∶2.则有-25x 2+165x =283, 整理,得3x 2-24x +70=0,此时的求根公式中的b 2-4ac =576-840<0, 所以不存在这样的实数x .即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分.说明 求解本题时应注意:一是要能正确确定x 的取值范围;二是在求得x 2=5时,并不属于7≤x ≤10,应及时地舍去;三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成:Page 16 of 17 让每一个学生超越老师!(1)观察图形,请填写下列表格:正方形边长 1 3 5 7 … n (奇数) 黑色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 … n (偶数) 黑色小正方形个数…(2)在边长为n (n ≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P 1,白色小正方形的个数为P 2,问是否存在偶数..n ,使P 2=5P 1?若存在,请写出n 的值;若不存在,请说明理由.图8解(1)观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时,黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n-1(奇数);正方形的边长为2、4、6、8、…、n时,黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n(偶数).(2)由(1)可知n为偶数时P1=2n,所以P2=n2-2n.根据题意,得n2-2n=5×2n,即n2-12n=0,解得n1=12,n2=0(不合题意,舍去).所以存在偶数n=12,使得P2=5P1.说明本题的第(2)小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解.综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是:找出未知量与已知量之间的联系,从而将实际问题转化为方程模型,要善于将普通语言转化为代数式,在审题时,要特别注意关键词语,如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.Page 17 of 17 让每一个学生超越老师!。