正弦定理和余弦定理
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法。

基础梳理
1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；
(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；
(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，cos C
＝a 2＋b 2－c 2
2ab .
3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则
一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题n
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
双基自测
1．()在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063 D ．56
2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B
b ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
3在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()．A．30° B．45° C．60° D．75°
4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝1
3，则△ABC的面积为()．
A．3 3 B．2 3 C．4 3 D.3
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．
考向一利用正弦定理解三角形
【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.
[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
【训练1】()在△ABC中，若b＝5，∠B＝π
4，tan A＝2，则sin A＝________；a
＝________.
考向二利用余弦定理解三角形
【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos B
cos C＝－
b
2a＋c
.
(1)求角B的大小；
(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
【训练2】 ()已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A
2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；
(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．
【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c
cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形
考向三 正、余弦定理的综合应用
【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．
【训练3】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝4 5，
b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错
【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.
【示例】►在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b ＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
【试一试】()△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B ＋b cos2A＝2a.
(1)求b a；
(2)若c2＝b2＋3a2，求B.。