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第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算 【解】 1）计算力F在x、y、z轴上的投影。 利用二次投影法进行计算。力F在Oxy平面上的投影的大小为 Fxy=Fcos30 再将Fxy向x、y轴上投影，得 X=－Fxycos45=－Fcos30cos45=－122.5N Y=－Fxycos45=－F cos30cos45 =－122.5N 力F在z轴上的投影为 Z=Fsin30=100 N 2）计算力F对x、y、z轴之矩。 力F与z轴相交，它对z轴之矩等于零 Mz（F）=0 在计算力F对x、y轴之矩时利用合力矩定理。将力F分解为分力 Fxy和Fz，因分力Fxy与x、y轴都相交，它对x、y轴之矩都为零，故 Mx（F）=Mx（Fxy）+Mx（Fz）= Mx（Fz）=Fz×2m=200N· m My（F）=My（Fxy）+My（Fz）= My（Fz）=－Fz×2m=－200N· m 目录
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第四章 空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 【解】 取起重机连同重物为研究对象， 作用于其上的力有起重机的重力W和重 物的重力F，以及地面对三个轮子的反力 FA、FB、和FC，这五个力组成一个空间 平行力系。列出平衡方程 FA a FA a sin 60 W sin 60 Fl cos30 0 3 得 FA=12.3kN a a M y 0 FB FC Fl sin 30 0 2 2 Z=0 FB+ FC+ FAWF=0 目录
合力的作用点称为物体的重心，合力的大小称为物体的重量。
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第四章 空间力系\重心和形心
4.4.2 重心坐标公式
为了确定物体重心的位置，可将 它分为许多微小部分（设为n个），设 任一微小部分Mi的重力为Wi，物体的 重力为W。建立直角坐标系Oxyz（如 图），设物体重心C的坐标为xC、yC、 zC，各微小部分重心的坐标为xi、yi、zi、。根据合力矩定理可知，
第四章 空间力系
4.1 4.2 4.3 4.4 力在空间直角坐标轴上的投影及其计算 力对轴之矩及其计算 空间力系的平衡方程及其应用 重心与形心
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第四章 空间力系\力在空间直角坐标轴上的投影及其计算
4.1 力在空间直角坐标轴上的投影及其计算
根据力在坐标轴上投影 的定义，力在空间直角坐标 轴上的投影有以下两种计算 方法。 1.一次投影法 若已知力F与空间直角坐 标轴x、y、z正向的夹角、、 ，则力F在三个坐标轴上的 投影分别为 X F cos Y F cos Z F cos 目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算 2. 合力矩定理 空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代 数和，即 Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn）=∑Mz（F）
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第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算 【例4.1】 正方形板ABCD用球铰A和铰链B与墙壁连接，并用 绳索CE拉住使其维持水平位置。已知绳索的拉力F=200N，求力F在 x、y、z轴上的投影及对x、y、z轴之矩。
X Y Z cos , cos , cos F F F F X 2 Y2 Z2
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第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算
4.2 力对轴之矩及其计算
1. 力对轴之矩的概念 以图示的门为例。设力F作用于门
上的A点，为了研究力F使门绕z轴转动 的效应，可将它分解为与转轴z平行的 分力Fz和位于通过A点且垂直于z轴的 平面上的分力Fxy。由经验可知，无论 分力Fz的大小如何，均不能使门绕z轴
2 5 W 0 得 F1 W 2 5 1 1 X 0 F2 F3 0 得 F2 F3 2 2 1 1 1 X 0 F3 F2 F1 0 2 2 5 F1
得 F1 2 W F2 F3 5 2 2 2
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负号表示F2、F3实际上是拉力。
第四章 空间力系\空间力系的平衡方程及其应用
4.3 空间力系的平衡方程及其应用
空间任一物体的运动，一般地既有沿空间直角坐标系三个坐标 轴方向的移动，又有绕三个坐标轴的转动。若物体在空间力系作用 下保持平衡，则物体既不能沿三个坐标轴方向移动，也不能绕三个 坐标轴转动。因此，空间力系平衡的必要和充分条件：各力在三个 坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴之矩的代数和均应等 于零。空间力系的平衡方程为
式中:d——分力Fxy所在的平面与z轴的交 点O到力Fxy作用线的垂直距离。正负号表 示力使物体绕z轴转动的方向，按右手螺 旋法则确定，即将右手四指的弯曲方向表 示力F使物体绕z轴转动的方向,大拇指的 指向如与z轴的正向相同时取正,反之取负 (如图)。 显然，当力F与z轴平行（此时Fxy=0）或者相交（此时d=0）时， 力F对z轴之矩为零。 力对轴之矩的单位是Nm。 目录
转动；而能使门转动的只是分力Fxy，故力F使门绕z轴转动的效应等
于其分力Fxy使门绕z轴转动的效应。而分力Fxy使门绕z轴转动的效 应可用分力Fxy对O点之矩来表示（O点是分力Fxy所在平面和z轴的交 点）。 目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算 由此可见，力使物体绕某轴转动的效应可用此力在垂直于该轴 的平面上的分力对此平面与该轴的交点之矩来度量。我们将该力矩 称为力对轴之矩。如将力F对z轴之矩表示为Mz(F)或简记为Mz，则 有 Mz=Fxy d
图示用钢绳起吊一块矩形混 凝土预制板，板的重力W和绳的 拉力F1、F2、F3、F4组成一空间 力系。
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第四章 空间力系
作用于传动轴的带轮C上的拉力FT1、FT2，斜齿轮D上的力Ft、 Fr、Fa，轴承A、B处的反力FAx、FAy、FAz和FBx、FBz，这些力组成
空间力系。
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第四章 空间力系
X 0， Y 0， Z 0， M 0, M 0, M 0
x y z
空间力系有六个独立的平衡方程，可以求解六个未知量。
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第四章 空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 若空间力系中所有各力的作 用线均汇交于一点，则称为空间 汇交力系（如图）。空间汇交力 系的平衡方程为 ΣX=0 ΣY=0 ΣZ=0
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第四章 空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 【例4.4】 图示悬臂刚架上作用有q = 2 kN/m的均布荷载，以及 作用线分别平行于x轴、y轴的集中力F1、F2。已知F1 = 5 kN，F2 = 4 kN，求固定端A处的反力和反力偶。 【解】 取悬臂刚架为研究对象，画 出受力图。列出平衡方程 X=0 FAx+F1=0 Y=0 FAy+F2=0 Z=0 FAz－q×4m=0 Mx=0 MAx－F2×4m－q×4m×2m=0 My=0 MAy+F1×5m=0 ∑Mz=0 MAz－F1×4m=0 解得 FAx=－5kN，FAy=－4kN，FAz=8kN ，MAx=32kN· m ， MAy= －25kN· m ，MAz=20kN· m 目录
速度为g，则将Wi=mig、W=mg代入重心坐标公式，可得
xC
mx ，
i i
m
yC
my ，
i i
m
zC
mz m
i i
由上式确定的C点称为物体的质心。在均匀重力场内，物体的 质心与重心的位置相重合。在重力场之外，物体的重心消失，而质 心依然存在。质心的概念将在动力学中用到。
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空间汇交力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知量。
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第四章 空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 若空间力系中所有各力的 作用线互相平行，则称为空间 平行力系(如图)。空间平行力 系的平衡方程为
ΣZ 0 Σ M x 0 Σ M y 0
空间平行力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知量。 求解空间力系平衡问题的步骤与平面力系相同，即选取研究对 象、画受力图、列平衡方程和解方程等四步。 在画受力图时涉及约束力，现将空间常见约束和它们的约束力 列成表3.1，以供参考。 目录
Wz C W1z1 W2 z2 Wn zn Wi zi
由以上三式可得计算物体 重心坐标的公式，即
xC
Wx ，y
i i
zC
W Wi zi W
C
Wy
i
i
W
，
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第四章 空间力系\重心和形心
4.4.3 质心的概念
若设物体各微小部分和整个物体的质量分别为mi、m，重力加
第四章 空间力系\重心和形心
4.4.4 几何体、面、线的形心
对于均质物体，若用表示物体每单位容积的重量，Vi表示各微
小部分的体积，V表示整个物体的体积，则Wi=Vi以及 W=ΣWi=ΣVi=V， 代入重心坐标公式，得
应当指出，力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是 矢量。这是因为力在平面上的投影与方向有关，故须用矢量来表示。 目录
第四章 空间力系\力在空间直角坐标轴上的投影及其计算
若已知力F在直角坐标轴上的投影X、Y、Z，则可将其表示为
F Xi Yj Zk
式中：i、j、k——x、y、z轴的单位矢量。 力F的大小和方向余弦分别为
第四章 空间力系
第四章 空间力系
本章在介绍力在空间直角坐标轴上的投影以及力对轴之矩的概 念和计算的基础上，直接给出空间力系的平衡方程，着重于应用平 衡方程求解空间力系的平衡问题。最后介绍物体重心的概念以及确 定重心位置和均质物体形心的方法。
返回第四章 空间力系第四 Nhomakorabea 空间力系
各力的作用线不在同一个平面内的力系称为空间力系。
第四章 空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 表3.1 常见空间约束的类型及约束力
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第四章 空间力系\空间力系的平衡方程及其应用 【例4.2】 用三根连杆支承一重W的物体，求每根连杆所受的力。 【解】 取结点A为研究对象，假设 F1、F2、F3都是压力。建立坐标系如 图所示。列出平衡方程