第八章 Einstein 场方程的某些严格解在第七章中我们详细求解了真空球对称Einstein 引力场方程的Schwarzschild 解，并对球对称真空引力场的引力红移以及静质量不为零粒子和光子在其中的运动轨道进行了研究。

本章将进一步介绍几个Einstein 引力场方程的严格解，因为它们在广义相对论的应用研究中是一个最基本的基础。

8.1 静态球对称理想流体的恒星的结构方程与内解在7.2节我们已经求解了Schwarzschild 内解，下面将在此基础上进行更加详细的讨论。

考虑球对称物质分布的内部解，必须考虑非空空间的Einstein 场方程8G GT μνμνπ=，其中0Λ=。

静态球对称度规最普遍的形式表示成2222222()()(sin )ds B r dt A r dr r d d θθϕ=-+++。

设星体由静态理想流体组成，则()T pg p U U μνμνμνρ=++，其缩并的能量-动量张量则为()3T p U U p p μμμμμμρδρ=++=-+， (8-1-1)其中p 为固有压强，ρ为固有能量密度，U μ为四维速度。

对静态流体，四维速度是U μ=。

(8-1-2) 由于静态及球对称的假设，p 和ρ只是径向坐标r 的函数，因此得到Einstein 场方程为'''00'''4(3)24B B A B B R G p B A A A B rAπρ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭， (8-1-3)''''''114()24B B A B A R G p A B B A B rA πρ⎛⎫=-+++=- ⎪⎝⎭， (8-1-4) ''222114()2r A B R G p r A A B Aπρ⎛⎫=--+-=- ⎪⎝⎭， (8-1-5)其中“'”表示ddr，33R 方程与22R 完全类同，其它非对角元的场方程都是零。

由静态流体平衡方程（能动张量散度为零），注意物理量只是r 的函数有''00002g p g p ρ=-+， 将00()g B r =代入上式，得''2B p B p ρ=-+。

(8-1-6) 由（8-1-3）、（8-1-4）和（8-1-5）三个方程，可得'001122222211822R R R A G B A r rA r Arπρ++=+-=， 进一步可将此方程改写为'2()18rG r Aπρ=-。

（8-1-7） 若要求(0)A 为有限（(0)A 有限的要求相当于在星体内部没有黑洞），则上式解为12()()1Gm r A r r -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， (8-1-8) 其中2'''0()4()rm r r r dr πρ=⎰。

(8-1-9)利用（8-1-6）和（8-1-8），消去引力场方程（8-1-5）中的()A r 和()B r 有关项，得'222()11144()Gm r rp Gm G r G p r r p r πρπρρ⎛⎫⎛⎫----+=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 上式可改写为132()()4()2()()111()()dp Gm r p r r p r Gm r r dr r r m r r πρρ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， （8-1-10） 即3()(4)(2)dp G p m r p dr r r Gm ρπ++=--， （8-1-11） （8-1-9）和（8-1-11）就是广义相对论中恒星结构的基本方程，（8-1-10）式右边三个括号中的项为广义相对论的修正，当括号中三个因子等于“1”时，就过渡为牛顿力学中恒星结构方程2dp Gm dr rρ=-。

（8-1-10）或（8-1-11）通常称为Oppenheimer-Volkoff 方程，或简称OV 方程，有时也称作Tolman-Oppenheimer-Volkoff 方程（TOV 方程）。

若我们再有物态方程()p p ρ=，则与（8-1-9）、（8-1-11）一起组成星体结构的完备方程组。

在一定的边界条件下，例如给定中心密度0(0)ρρ=，恒星表面r R =处的边界条件是()0p R =，()m R M =（即星体的质量，这是远离星体的观察者所测得的引力场的总质能），可求出()p r 、()r ρ、()m r 。

白矮星、中子星以及相对论的多层球可从这三个基本方程出发来求解；事实上中子星的物态方程没有解析形式，所以只能用计算机求数值解。

当求出()p r 、()r ρ、()m r 后，由（8-1-8）容易求得12()()[1]Gm r A r r-=-， 进一步由（8-1-6）及（8-1-10）可得()1'32()22()()4()1()B r G Gm r m r r p r B r r r π-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 取r →∞时为Minkowski 空间，则()1B ∞=，上式可以写成()13222(')()exp (')4'(')1'''r G Gm r B r m r r p r dr r r π-∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫=-+-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎰， 这样就得到了引力场的分布。

在星体外(r R >),()0p r =，()0r ρ=，()m r M =,则有12()()1GMB r A r r-==-，这正是Schwarzschild 外解；可见，内、外解在边界上是衔接的，此内解也被称作Schwarzschild 内解。

对于实际的物态方程，OV 方程一般都很难求得解析解。

下面我们讨论一种最简单的理想模型，均匀密度介质构成的星体（即流体是不可压缩的）。

物态方程为0ρρ==常数，此时，有23004()4''3rm r r dr r ππρρ==⎰， （8-1-12） 1208()13G A r r πρ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭， （8-1-13）令20038r G πρ=，则1220()1r A r r -⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

现在来求解()B r ，由于只知道密度0ρ为常数，并不知道物态方程()p p ρ=，所以求解稍微困难一点。

由（8-1-3）、（8-1-4）和（8-1-5），得02''8()A B G p rA rABπρ+=+， (8-1-14) 同时，积分（8-1-6）得0)p D ρ+=， (8-1-15)其中D 是积分常数。

把（8-1-15）代入（8-1-14），整理后得''B A B A +=， (8-1-16)作代换，令y =,上式化为'2'8A y y GDAr Aπ+=， (8-1-17) 其中20220202'21rr A rA r A r r ==-。

非齐次方程（8-1-17）式有特解： 2004y GDr F π===常数， (8-1-18)再求相应的齐次方程通解，由'2'0A y y A+=易求得其通解为1221ry Er⎛⎫==-⎪⎝⎭， (8-1-19) 其中E为积分常数。

因此，非齐次方程（8-1-17）的通解2122()1rB r F Er⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

(8-1-20) 至此，()A r和()B r都已求出，所以均匀密度星的内解为2121222222222220011(sin)r rds F E dt dr r d dr rθθϕ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+-+-++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (8-1-21) 其中E和F为两个待定常数。

对（8-1-21）式有两点仍待考虑：（1）如何去解释r r=时()A r→∞的现象？（2）常数F和E如何去确定？下面分别解决这两个问题。

（1）坐标r实际上只是一个标记，我们可以引入新的径向变量l,使满足sinlr rr=， (8-1-22) 此时21222(1)rdr dlr--=，()A r就不再出现在公式(8-1-21)中了，我们有22222222200cos sin(sin)l lds F E dt dl R d dr rθθϕ⎡⎤⎡⎤=-++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， (8-1-23) 则在新的坐标下就不会出现()A r的奇性。

（2）常数F和E必须由边界条件决定。

将（8-1-20）代入（8-1-15），得012221DprF Erρ+=⎛⎫+-⎪⎝⎭。

(8-1-24) 在星体的表面（r R=处）压强为零，则上式化为12200201R F E D r ρρ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭。

(8-1-25)由（8-1-18）得00043382GD F D G πρρπρ⋅==， (8-1-26)将此结果代入（8-1-25），解出12202021R D E r ρ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， (8-1-27)122031R F E r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。

(8-1-28)Schwarzschild 内解、外解在r R =处应连续，而Schwarzschild 外解为122222222211(sin )GM GM ds dt dr r d d r r θθϕ-⎛⎫⎛⎫=--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()A R A R =外内，则有220211GM R R r -=-， (8-1-29)根据0r 定义，20038r G πρ=,代入(8-1-29)则得3043M R πρ=， (8-1-30) 进而把总质量与密度0ρ联系了起来。

再考虑()()B R B R =外内，利用（8-1-28）得211222222220002131141GM R R R E E E R r r r ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=--+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (8-1-31)借助于（8-1-29）和（8-1-30）式容易解出12E =±。

(8-1-32)若取12E =-,则12220312R F r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这样我们就完全确定了常数E 和F ，得到了不可压缩流体组成的星体的Schwarzschild内解2222222222(sin)1drds dt r d dr rθθϕ=-+++-（8-1-33）或写成21212222312222223122311421(sin),GM GMrds dtR RGMrdr r d dRθθϕ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=----⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦（8-1-34）其中R是星体的半径，343M Rπρ=是它的总质量。

在认识到宇宙项Λ的物理意义就是真空能量后，含Λ的场方程就显得比以前重要了。