经典世界
Set • 基础范畴： 集合范畴
• 结构：集合范畴上的monad • 对象： monad的代数 • 对象之间的态射构成集合
线性世界
Ab • 基础范畴： 阿贝尔范畴
• 结构: 阿贝尔范畴上的monad • 对象：monad的代数 • 对象之间的态射构成集合，而不是阿贝尔
群
余代数范畴是一种universal笛卡尔闭范畴
拓扑规范理论
弦场凝聚态
对偶
自旋网络 彼得-外尔定理
抽象弦网液体
• 为什么要抽象化？
1拓扑物态 中的“拓扑性”不仅仅是空间上的拓扑性，本质上 等于 “鲁棒性”或者“稳健
性”，拓扑物态远离相变临界点，靠近重正化群的不动点。
2 物质的量子相空间是抽象的希尔伯特空间，拓扑物态既可能起源于相因子纠缠（如FQH态）， 动量空间（如超导），位形空间（如弦液体），或者自旋空间的约束（如自旋液体），也 可能是自旋-轨道耦合（如拓扑绝缘体）等更加复杂的约束。量子相空间的抽象性和哈密顿 约束的抽象性决定了长程量子纠缠或者强关联需要抽象化。
张量范畴
同伦迁移定理
张量运算的syzygy
费曼变换
费曼图展开
范畴化 不变量理论
弦网液体和拓扑物态
• 天然的弦网液体
量子“以太”
赫尔伯特施密希特
• 机制和数学描述：
演生 规范场 & 粒子
弦网凝聚
经典液体，经典固体和经典弦网液体的激发
经 典 横 波
经ห้องสมุดไป่ตู้
典 纵
电荷周围的电场
电磁波
波
经 典 弦 网 液 体
量子场论的数学基础和应 用研究
鲁学星
物理学的新进展
• 弦网凝聚和拓扑序理论 • 纠缠重整化理论 • 全息原理 • 纠缠-几何对偶
• 主要特点： 强关联， 非微扰， 演生原理， 信息原则
注: 图片大多来自网络
数学中的新理论
• Operad/PROP 和张量范畴理论
• 同伦代数
• BV 框架
• 拓扑量子场论
本话题未完待续
局域化量子场论的数学模型
• 基于经典时空的局域化量子场论模型
海
薛
森
定
堡
谔
绘
绘
景
景
代数量子场论：拓扑空间-因子化代数层框架
特点：局域化性质 =代数关系
拓扑量子场论：协边-张量函子框架
凝
• 高阶范畴
• 导出代数几何
均与（局域化）量子场论的数学基础密切相关
无处不在的自旋网络
• 自旋网络处于多方面进展的中心
张量运算的组合与代数
罗塞塔石碑
圈量子引力和量子几何
• 自旋网络
• 对偶描述
• 几何解释: 单纯几何
• 维数关联：多边形 v.s.多面体 v.s. 多胞体
自旋泡沫和拓扑量子场论
• 量子引力中的惠勒-德维特方程 • 拓扑量子场论的态-和构造
• 费曼几何---从物理中涌现出的新几何观念
经典时空是一种 宏观量子关联
长度=传播子
非交换几何
大体积/红外极限
共形场论/弦场论
演生
经典时空
演生
规范场
& 粒子
数学问题
• 在数学上理解边的粗粒化
粗粒化
• Monad 的分解
• 分配律
替换
• 其他问题：
融合
正交/自反子范畴，局部化
费曼流形的线性化
• 态射的线性化 ：
• 对象的范畴化：
Beck 模范畴
刻画
万有包络代数
阿贝尔范畴
结合代数
费曼流形 PROP v.s. 费曼流形
更恰当的关系似乎是 仿射概型 和一般概型的关系
时空维数=同调维数
v.s.
形变和上同调理论
1 对于费曼流形， 比较Barr-Beck同调理论和Beck模范畴上的同调代数。
2 对于严格张量范畴，比较Barr-Beck同调理论和Davydov-Yetter 同调理论。
3 不同的物质系统和不同的哈密顿约束可能产生物理上相同的弦网液体。 4 拓扑/量子物态的产生机制多样性和应用的多样性，需要一个统一的数学框架。因此， 发展
一套抽象的量子序理论，需要抽象化。
5 融合拓扑序理论和圈量子引力 必须要抽象化。
费曼流形=抽象弦网液体
• 一个类比：费曼流形= 局部哈密顿约束的基态流形
背景相空间
仿射空间R^n
局部哈密顿
光滑函数
基态流形
临界流形
代数结构
拓扑结构
• 费曼流形 v.s. 严格张量范畴 = 弦网液体 v.s. 拓扑序
费曼流形提供了 一个抽象定义具 有约束的或者受 挫量子系统的数 学框架。 长程量 子纠缠的稳定性 是受量子约束保 护的。量子约束 是量子序的起源。
费曼几何 黑洞
在自旋泡沫理论中转变为哈密 顿约束
三角剖分无关性等价于在帕赫 纳移动下不变性
时间演化v.s.维数关联:全息现象？
• 时间演化
• 维数关联
V.S.
弦
理
v.s.
论
学
派
代 数 的 观 点 可 能 更 本 质
时间-----维数-----融合-----全息性??
Regge Calculus和离散微分形式
• Regge Calculus离散化了广义相 对论，基本上可以微扰地描述 圈量子引力。
• Eugenio Bianchi, Leonardo Modesto， The
perturbative Regge-calculus regime of Loop Quantum Gravity，Nucl.Phys.B796:581621,2008。
• 和格点规范理论类似，离散微 分形式可以离散处理拓扑规范 理论，并可以微扰地描述拓扑 规范理论。
3 对于PROP, 比较 Barr-Beck同调理论和Markl-Markulov-Vallette同调理论的关 系，特别地，比较Beck-Barr-Fox 的余代数enrichment 理论和MarkulovVallette的dg affine scheme enrichment 的关系。
什么是最好的上同调理论和形变理论？
经典弦网震荡
弦网液体和圈量子引力
• 圈量子引力是一种背景无关的“天然的”弦网液体！！
或者
• 引力的一个量子态是一系列自旋网络的线性叠加
没
纯
有
量
能
子
隙
系
的
统
概
，
念
与
热
力
学
无
关
|引力〉 =
弦场-规范场对偶
背景无关弦场论
非线性对偶
弦 几何对象
代数/组合对象 重构
曼德斯坦姆恒等式
哈密顿-凯莱定理
严格的数学基础和丰富的数学结构
• Losev-Mnev program: effective BV formalism
Pavel Mnev, Discrete BF theory, arXiv:0809.1160。
微分同胚不变性 惠勒-德维特方程
帕赫纳移动不变
粗粒化
时间演化
量子纠缠
重整化不动点
Operad/PROP 求解BV主方程