万能公式
例1 求证：2
tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan
2sin 2
222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：1︒2
tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 2
22α+α=α+ααα=α=α 2︒2
tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=α=α 3︒2
tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=αα=α 注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。

2︒这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
即：)2
(tan αf 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 可以使解题过程简洁
3︒上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小
例2 已知5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。

解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) ∴53tan 1tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式572122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32
22222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-=
练习：
1．已知sin α + sin β = 1，cos α + cos β = 0，试求cos2α + cos2β的值。

(1)
2．已知π<α<π2
，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71-，求2α + β 的
大小。

)4
3(π- 3．已知sin x =54，且x 是锐角，求2
cos 2sin x x ±的值。

)55,553(- 4．下列函数何时取得最值？最值是多少？
1︒x x y 2cos 2sin = )2
1,21(min max -==
y y 2︒x x y 2cos sin 2-= )2
1,23(min max -==y y 3︒)7cos(2)722cos(π+-π+=x x y )2
3,3(min max -==y y 5．若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4π 6．求函数x x x f sin cos )(2+=在]4,4[ππ-上的最小值。

)221(-。