初三数学总复习教案—二次函数
知识结构
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧--=≠+-=≠++=)
)0,)0,(())(()
),(()0()()
0(212122轴的交点坐标是与、（交点式表示图象顶点顶点式一般式x x x x x x x a y k h a k h x a y a c bx ax y
重点、热点
已知三点求二次函数的解析式.
根据所给条件合理选择表达式求二次函数的解析式. 目标要求
1． 了解二次函数解析式的三种方法表示. 2． 会用待定系数法求二次函数的解析式.
3． 能从某些实际问题中抽象出二次函数的解析式.
检查学生的学案，了解学生课前预习情况。

二、【典型例析】
例1, （2002年宁夏）二次函数y=-2(X-3)2+5图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（）。

A ．开口向下，对称轴为X=-3，顶点坐标为（3，5）； B ．开口向下，对称轴为X=3，顶点坐标为（3，5）； C ．开口向上，对称轴为X=-3，顶点坐标为（-3，5）; D ．开口向上，对称轴为X=3, 顶点坐标为（-3，5）;
分析：要熟练掌握二次函数y=a(X+h)2+k 的性质：当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；对称轴为直线X=-h;顶点坐标为（-h,k ）
解：∵在y=-2(X-3)2+5中,a=-2<0 ∴抛物线开口向下。

其对称轴为直线x=-(-3)=3,顶点坐标为（3，5） 综上所述，应选择（B ）
例2,（2002年 山西） 若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线y= —X 2+1上，则线段PQ 的长是
分析：既然P 、Q 两点在y= —X 2+1上，那么就可求出a 与b 的值，这样就确定了P 、Q 两点的坐标，进而求出PQ 的长。

解：依题意有
a=-12+1
b=-(-1)2+1
∴P(1,0), Q(-1,0)
∴ a=0
b=0
∴PQ=1-(-1)=2
例3， （2002年 黑龙江）若二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点（-4，0）,（2，6），则这个二次函数的解析式为 。

分析：欲求y=aX 2+bX+c 的解析式，实际上就是求的值。

根据所给的两个条件，很容易就能求得。

解：因为y=aX 2+bX+c 过（-4，0），（2，6）两点 所以 （-4）2+（-4）b+c=0
22+2b+c=6
解得 b=3 c=-4
所以，所求的二次函数的解析式为y=X 2+3X-4.
例4, （2002年 江西）已知抛物线y=-X 2+bX+c 与x 轴的两个交点分别为A(m,o),B(n,o),且m+n=4 , m/n=1/3. 求此抛物线的解析式
设此抛物线与y
过C 作一条平行于X 轴的直线交抛物线于另一点P 求 △ACP 的面积S △ACP 。

分析：（1）利用m+n=4，m/n+1/3，求出m, n 的值，进而求出A ，B 两 点坐标 代入y=-X 2+bX+c 之中，即可求得b,c.
先求得C 点坐标，进而求出P 点坐标，利用S △ACP =1/2CP ×OC ，可求得
△ACP 的面积。

解：（1）由 m+n=4
m/n=1/3
解得 m=1 n=3
将A （1，0），B （3，0）的坐标代入y=-X 2+bX+c 得 0=-12+1×b+c 0=-32+3×b+c 解得 b=4
c=-3
所以，此抛物线的解折式为y=-X 2+4X-3.
(2)抛物线y=-X 2+4X-3.与y 轴相交于点C(0,3),令y=-3,则有-3=-X 2+4X-3 解之 X 1=0
X 2=4
所以点P 的坐标为P （4，-3），CP=4 所以S △ACP =
21×CP ×OC= 2
1
×4×3=6 例5、（03河北）某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入
资金1500万元进行批量生产。

已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年
二次函数解析式的三种表示形式
销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x 元，年销售量为y 万件，年获利
（年获利＝年销售额－生产成本－投资）z 万元。

（1）试写出
y 与x 之间的函数关系式；（不必写出x 的取值范围）
（2）试写出z 与x 之间的函数关系式；（不必写出x 的取值范围）
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。

请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x （元）应确定在什么范围内？ 解：（1）依题意知，当销售单价定为x 元时，年销售量减少1
10(x-100)万件.
∴y=20-110(x-100) = - 1
10
x+30. 即y 与x 之间的函数关系式是: y = -
1
10
x+30. （2）由题意，得：z = (30-110)(x-40)-500-1500 = - 1
10x 2+34x-3200.
即z 与x 之间的函数关系式是: z = -
110
x 2
+34x-3200. (3) ∵当x 取160时，z= - 1
10×1602+34×160-3200 = - 320.
∴ - 320 = -
110
x 2
+34x-3200. 整理，得x 2-340+28800=0.
由根与系数的关系，得 160+x=340. ∴x=180. 即同样的年获利，销售单价还可以定为180元. 当x=160时，y= - 1
10
×160+30=14; 当x=180时，y= -
1
10
×180+30=12. 即相应的年销售量分别为14万件和12万件. （4）∵z = -
110x 2+34x-3200= - 1
10
(x-170)2-310. ∴当x=170时，z 取最大值，最大值为-310.
也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资. 第二年的销售单价定为x 元时，则年获利为： z = (30- 1
10
x)(x-40)-310 = -
110
x 2
+34x-1510. 当z =1130时，即1130 = -
1
10
+34 -1510. 整理，得 x 2-340x+26400=0. 解得 x 1=120, x 2=220. 函数z = -
110
x 2
+34x-1510的图象大致如图所示： 由图象可以看出：当120≤x ≤220时，z ≥1130.
所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内.
这节课没有配备课堂练习题，其原因是课内要讲解的内容多。

附课后作业第9题答案：
解：（1）设s 与t 的函数关系式为s=at 2+bt+c
由题意得 1.5422255 2.5a b c a b c a b c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩ （或 1.5
4220a b c a b c c ++=-⎧⎪
++=-⎨⎪=⎩
）
解得1220
a b c ⎧=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎩
∴s=
2
122
t t - （2）把s=30代入s=2
122
t t - 得30=
2
122
t t -
解得t 1=10，t 2=-6（舍）
答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元
（3）把t=7代入，得
s=
2121
72710.522⨯-⨯== 把t=8代入，得 s=
2
1828162
⨯-⨯= 16-10.5=5.5
答：第8个月公司获利润5.5万元．
)。