( b1 , b2 ,, bm 为不全为零的常数) （3-1-1）
在上一章知道，它的矩阵表达式为 常数项与未知阵。
a11 a 21 A , B 将系数矩阵与常数项矩阵放在一起构成的矩阵 ~ 称为方程组（3-1-1）的增广矩阵（也可记作 A ）。 a m1
第三章 向量组与线性方程组
• 3.1 线性方程组及其矩阵表示
设非齐次线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
Ax B与 Sx T 同解。（证）
证明 由于对矩阵作一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵，因此存在初等矩 阵 P 记 Pk Pk 1 P1 P 显然 P 可逆。 1, P 2 ,, P k 使得 P kP k 1 P 1 ( A, B) ( S , T )
x x1 为 Ax B 的解，即 Ax1 B Sx1 T 于是 x x1 为 Sx T 的解。
21 1
22
2
2n
n
x1 2 x 2 2 x3 x 4 1 【例1】把线性方程组 2 x1 x 2 2 x 2 5 x 4 2 表示为矩阵方程的形式。 x 3 x 7 x 4 x 0 2 3 4 1 x1 1 2 2 1 1 解 设 A x2 B 2 1 2 5 2 则原方程组可表示为 Ax B x 1 3 7 4 0 x3 x 4
Ax B 其中 A, B, x 分别是系数阵、
a12 a 1n a 22 a2n b1 b2 bm
a m 2 a mn
a1n a12 a11 程组（3-1-1）又可表 示为 22 21 如果记 1 2 , n x a a 1 a m2 m1 mn x 2 1 x1 2 x2 n xn B 或 1 , 2 ,, n B 以上都是线性方程组（3-1-1）的各种变形。 a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 x a x a x a x 0 n
若 反之，若 即Ax2 B 于是
两边同时左乘矩阵 P 有 PAx1 PB 即
2
1 1 1 T 两边同时左乘矩阵 P 得 P Sx2 P T
x x2 亦为 Ax B 的解。故 Ax B 与 Sx T 同解。 运用第二章的知识，我们总可以用初等行变换把增广矩阵 A, B 化为
行最简阶梯形矩阵，求出行最简阶梯形矩阵所对应的线性方程组的 解。由定理1知，行最简阶梯形矩阵所对应的线性方程组的解就是 原线性方程组的解。这个方法称为高斯（Gauss）消元法（简称消 元法）。
x x2 为Sx T 的解，即 Sx
下面举例说明用高斯消元法求解线性方程组的方法和步骤。 2 x1 3 x 2 x3 x 4 3 【例1】 用消元法解线性方程组：

1 ( r1 r3 ) 7
3x x x x 0 1 2 3 4 4 x1 x 2 x3 x 4 7 2 x1 x 2 x3 x 4 5
解
A, B
2 3 1 1 3 1 1 1 0 3 4 1 1 1 7 2 1 1 1 5
【例2】
1 ~ 1 写出以矩阵A 1 1
2 3 1 3 1 0 4 3 2 1 4 3
为增广矩阵的线性方程组。
1 2 3 ~ 解 以 A 为增广矩阵的线性方程组为： x 3x x 0 1 2 3
x 2 x 3x 1
x1 4 x 2 3 x3 2 x1 x 2 4 x3 3
习题3.1
x x 2 2 x3 x 4 1 1.写出线性方程组 1
x 5 x 3x 2 x 0 1 2 3 4 3 x1 x 2 x3 4 x 4 2 2 x1 2 x 2 x3 x 4 1
的增广矩阵和矩阵方程形式。
2.设矩阵
6 1 4 A 2 6 2 3 3 1
为系数矩阵的齐次线性方程组。
T A 求出以
3.2 线性方程组解的讨论
3.2.1、高斯消元法 方程组 定理1 若将线性方程组的增广矩阵 A, B 通过初等行变换化成矩阵 S , T 则线性
因为线性方程组是由它的系数和常数项 决定的，所以用增广矩阵 ( A, B) 可以清楚地表示一个线性方程组。
非齐次线性方程组（3-1-1）所对应的齐次线性方程组为 线性方程组（3-1-2）也可以表示为 或
Ax O
1 x1 2 x2 n xn 0
（3-1-2） a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n 0