094 复变函数一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设z =1-i ,则Im(21z )=（ ） A ．-1 B ．-21 C ．21D ．12．复数z =ii-+23的幅角主值是（ ）A ．0B ．4πC ．2πD ．43π 3．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（ ） A ．1-2πI B ．)22(πn π-I C ．1+)i π(n π22- D ．1+i π(n π)22+4．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（ ） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =1 5．积分⎰=2i iπzdz e （ ）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi 2D ．π2 6．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（ ）A ．i π23-B ．i π3-C ．i π43 D ．i π23 7．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（ ） A ．i π2- B ．i π-C ．i πD ．2i π8．点z =0是函数)1(sin )1()(2--=z z ze zf z 的（ ）A ．可去奇点B ．一阶极点C ．二阶极点D ．本性奇点9．函数)3)(2()(-+=z z zz f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为（ ）A ．z ＜2B ．1-z ＜2C ．z ＜3D ．1-z ＜310．设)1(sin )(2z z zz f -=,则Res[f (z ),0]=（ ）A ．-1B ．-21 C ．21 D ．1二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．复数-1-i 的指数形式为__________.12．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 13．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________. 14．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-Czdz z e 12__________. 15．函数)1(1)(2z z z f -=在圆环域0<z <1内的罗朗展开式为__________. 16．设)1()(1-=ze z zf ,则Res[f (z ),0]=__________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）将曲线的参数方程z =3e it +e -it （t 为实参数）化为直角坐标方程.18．（本题6分）设C 是正向圆周⎰+-=-C zdz z z e z .23,2112计算19．（本题6分）求0)2)(1()(=-+=z z z zz f 在处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.20．（本题6分）求)2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1<z <2内的罗朗展开式.21．（本题7分）计算z =(1+i )2i 的值. 22．（本题7分）设v (x ,y )=arctan)(),0(z f x xy>是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ).23．（本题7分）设C 是正向圆周2=z ，计算.)1(2dz z z e I C z⎰-=24．（本题7分）设C 是正向圆周1=z ，计算⎰+=C dz zz I .2sin )1(2四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。

每小题8分，共16分）25．（1）求221)(2+-=z z z f 在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；（2）求出ize zf )(在以上奇点处的留数；（3）利用以上结果，求积分⎰+∞∞-+-=.22cos 2dx x x xI26．设D 为Z 平面上的带形区域：0<Imz<π.求以下保角映射：（1）w 1=f 1(z )将D 映射成W 1平面的上半平面D 1；（2）w =f 2(w 1)将D 1映射成W 平面的单位圆盘D 2∶|w |<1; （3）w =f (z )将D 映射成W 平面的单位圆盘D 2∶|w |<1. 27．求函数t e t t f t3sin 5)1(3)(22-++=的拉普拉斯变换.2008年4月一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（ ）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于12．设2,3z w i z =+=,则（ ）A ．3arg π=wB ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w3．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +4．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（ ）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．05．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-6．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z ez zC4)1(++⎰=（ ） A ．i e3πB ．e 6πC ．ei π2D ．i e 3π7．z-21的幂级数展开式∑∞=0n nnza 在z =-4处（ ）A ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．收敛于61 8．幂级数∑∞=+0)1(1n n nz i 的收敛半径为（ ） A ．2B ．1C ．21 D ．09．函数z z tan 在z =0点的留数为（ ）A ．2B ．iC ．1D ．010．函数2z e e ibziaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（ ）A ．)(a b i -B ．a b -C ．b a -D ．)(b a i -二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．设i z 101103+-=，则=_z ____________.12．方程i z 31ln π+=的解为____________.13．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.14．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C3_)(____________.15．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z32)2(cos π____________.16．若在幂级数∑∞=0n n n z b 中，i b bnn n 43lim 1+=+∞→，则该幂级数的收敛半径为____________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17．（本小题6分）设复数)2)(1(--=i i iz（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点. 18．（本小题6分）设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线. 19．(本小题7分)设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值. 20．(本小题7分)设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=， 求),(y x v . 21．（本小题6分） 求)2)(4(2)(---=z z z f 在圆环域3|1|1<-<z 内的罗朗级数展开式.22．（本小题6分）设zz f -=11sin )(的幂级数展开式为∑∞=0n nnza ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.23．（本小题7分）设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213dz a z ze izC-⎰π24．（本小题7分） 求)(1)(3i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数. 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，两题都做按前一题评分。

每小题8分，共16分）25．利用留数计算积分⎰+∞∞-++=dx x x x I )9)(1(222. 26．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3arg 0<<<z z π求下列保角映射：（1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1； （2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限； （3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限.27．求函数222)4(4)(-+=p p p F 的拉氏逆变换.。