1．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率. （Ⅰ）摸出2个或3个白球；（Ⅱ）至少摸出一个黑球.
（Ⅰ）P （A+B ）= P （A ）+P （B ）＝481325482325C C C C C C ⋅+⋅=76; （Ⅱ） P=1-48
45C C =14131411=- 2．已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.
（Ⅰ）Ｐ（两人都投进两球）＝0222)6.0()4.0(C 2022)6.0()4.0(C =.0576.036.016.0=⨯
（Ⅱ）P （两人至少投进三个球）＝3072.01728.00768.00576.0=++
3. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．
解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故
01()()P A P A A =+21
2012()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-
于是2
0.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．
（2）ξ的可能取值为012，，．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故
2802100C 316(0)C 495P ξ===．1180202100C C 160(1)C 495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为
4. 甲乙两人参加某电视台举办的抽奖游戏，参与游戏者可以从一个不透明的盒子中抽取标有1000元、800元、600元、0元的四个相同的小球中的任意一个，所取到的小球上标有的数字就是其获得的奖金，取后放回同时该人摸奖结束.规定若取到0元，则可再抽取一次，但所得的奖金将减半，若再次抽取到0元，则没有第三次抽取机会.
（1）求甲乙两人均抽中1000元奖金的概率；
（2）试求甲摸得的奖金数的期望值。

解：（1）甲从四个小球中任取一个，有4种等可能的结果，所以能取到1000元奖金的概率是
14
；同理，乙从四个小球中任取一个，也有4种等可能的结果，所以能取到1000元奖金的概率也是14
，由于甲抽到1000元与乙抽到1000元之间是相互独立的，因此甲乙两人均抽中1000元奖金的概率是1114416p =⋅=. (2)设甲摸得的奖金数为随机变量ξ，则ξ可能的取值有：1000,800,600,500,400,300,0共7种，依题意有：1(1000)(800)(600)4
P P P ξξξ======. 500ξ=表示第一次抽到0元，第二次抽到1000元，故减半得到500元， 所以111(500)(400)(300)(0)4416
P P P P ξξξξ========
⋅=. 因此，ξ的分布列如下：
故甲摸得的奖金数的期望值是 11111111000800600500400300075044416161616
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）
5. 袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球,从A 中摸出一个红球的概率是3
1,从B 中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ． (Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为1:2,将A 、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的
概率是
25
,求p 的值． 解：(Ⅰ) ①22241218()()33381C ⨯⨯⨯=. ②随机变量ξ的取值为0、1、2、3.由n 次独立重复试验概率公式P n (k )=(1)k k n k n C p p -=-,
得
P (ξ=0)=055132(1)3
243C ⨯-=, P ((ξ=1)=1451180(1)33243
C ⨯⨯-=, P ((ξ=2)=22351180()(1)33243C ⨯⨯-=, P ((ξ=3)=3280217124381+⨯-=. 随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望是E ξ=243×0+243×1+243×2+81×3=81
(Ⅱ)设袋子A 中有m 个球,则袋子B 中有2m 个球,由122335
m mp m +=,得p =1330. 6. 在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为4.0，5.0，8.0，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响.
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人均达标的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；
（Ⅲ）设ξ表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求ξ的概率分布及数学期望E ξ．
解：（Ⅰ）分别记“甲达标”，“乙达标”，“丙达标”为事件321,,A A A ．
由已知321,,A A A 相互独立，4.0)(1=A P ，,5.0)(2=A P 8.0)(3=A P .
3个人均达标的概率为)(321A A A P ⋅⋅)()()(321A P A P A P ⋅⋅=16.08.05.04.0=⨯⨯=． （Ⅱ）至少一人达标的概率为)(1321A A A P ⋅⋅-)()()(1321A P A P A P ⋅⋅-= 94.0)8.01)(5.01)(4.01(1=----=．
（Ⅲ）测试结束后达标人数的可能取值为0，1，2，3,相应地，没达标人数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.
)()()3(321321A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅==ξ)()()()()()(321321A A A P A A A P ⋅⋅+⋅⋅= )8.01)(5.01)(4.01(8.05.04.0---+⨯⨯=22.0= ．
)()()()()1(321132231321A A A P A A A P A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξ
)()(213312A A A P A A A P ⋅⋅+⋅⋅+
)4.01(8.05.0)5.01(8.04.0)8.01(5.04.0-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=
)8.01()4.01(5.0)8.01()5.01(4.0-⨯-⨯+-⨯-⨯+
)5.01()4.01(8.0-⨯-⨯+=78.0 ．
ξ的概率分布如下表：
10.7830.22 1.44E ξ=⨯+⨯= ．
7. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机
会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率. 解：ξ的取值分别为1,2,3,4.
1=ξ,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P （1=ξ）=0.6. 2=ξ,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了,故
.28.07.0)6.01()2(=⨯-==ξP
3ξ=,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故
.096.08.0)7.01()6.01()3(=⨯-⨯-==ξP
4ξ=,表明李明第一、二、三次考试都未通过,故
.024.0)8.01()7.01()6.01()4(=-⨯-⨯-==ξP
∴李明实际参加考试次数
的分布列为
∴ξ的期望E ξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.
8. 如图，四棱锥S ABCD -的所有棱长均为1米，一只小虫从S 点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n 米后恰回到S 点的概率为n P .
(1)求23,P P 的值；
(2)求证：131(2,)n n P P n n N ++=∈…； (3)求证：2365.(2,)24
n n P P P n n N -+++>∈L … 解：(1)2P 表示从S 点到A (或B C D 、、)，然后再回到S 点的概率
所以211111111111443434343433
P =⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯=； A C D S
因为从S 点沿一棱，不妨设为SA 棱再经过B 或D ，然后再回到S 点的概率为 1111()243318⨯⨯⨯=，所以3124189
P =⨯=. (2)设小虫爬行n 米后恰回到S 点的概率为n P ，那么1n P -表示爬行n 米后恰好没回到S 点的概率，则此时小虫必在A （或B C D 、、）点，所以11
(1)3
n n P P +⨯-=，即131n n P P ++=(2,n n N ∈…).
(3)由131n n P P ++=得11
11()()434n n P P +-=--，从而2111()4123
n n P -=+-， 所以111323131()11111[1()]41214163n n n n n P P P --⎡⎤----+++=+=+--⎢⎥+⎣⎦
L 111211165[()]4163163324
n n n ---=
+⨯+-->.。