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统计学常用分布及分位数

§1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布,它们与正态分布一起,是试验统计中常用的分布。

当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时,Z=∑ii X 2 的分布称为自由度等于n 的2χ分布,记作Z ~2χ(n),它的分布密度 p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012,称为Gamma 函数,且()1Γ=1,⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。

2χ分布是非对称分布,具有可加性,即当Y 与Z 相互独立,且Y ~2χ(n ),Z ~2χ(m ),则Y+Z ~2χ(n+m )。

证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性,令Y=X 21+X 22+…+X 2n ,Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +,Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +,即可得到Y+Z ~2χ(n +m )。

2. t 分布 若X 与Y 相互独立,且X ~N(0,1),Y ~2χ(n ),则Z =n Y X的分布称为自由度等于n 的t 分布,记作Z ~ t (n ),它的分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。

请注意:t 分布的分布密度也是偶函数,且当n>30时,t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。

这时, t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F 分布 若X 与Y 相互独立,且X ~2χ(n ),Y ~2χ(m ),则Z=mY n X 的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布,记作Z ~F (n , m ),它的分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ∙。

其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意:F 分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度的次序有关,当Z ~F (n , m )时,Z1~F (m ,n )。

4. t 分布与F 分布的关系若X ~t(n ),则Y=X 2~F(1,n )。

证:X ~t(n ),X 的分布密度p(x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x 。

Y=X 2的分布函数F Y (y ) =P{Y<y }=P{X 2<y }。

当y ≤0时,F Y (y)=0,p Y (y )=0;当y >0时,F Y (y ) =P{-y <X<y } =x d x p y y )(⎰-=2x d x p y )(0⎰, Y=X 2的分布密度p Y (y )=21)(121221212n y n y n n n n ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ∙,与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同,因此Y=X2~F(1,n)。

为应用方便起见,以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。

但是,解应用问题时,通常是查分位数表。

有关分位数的概念如下:4. 常用分布的分位数1)分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关,根据应用的需要,有三种不同的称呼,即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数,它们的定义如下:当随机变量X的分布函数为F(x),实数α满足0 <α<1 时,α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα,上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ,双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。

因为1-F(λ)=α,F(λ)=1-α,所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x 1-α;F(λ1)=0.5α,1-F(λ2)=0.5α,所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x 0.5α,双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。

2)标准正态分布的α分位数记作uα,0.5α分位数记作u ,1-0.5α分位数记作u 1-0.5α。

0.5α(uα)=α,当X~N(0,1)时,P{X< uα}=F0,1(u0.5α)=0.5α,P{X<u0.5α}= F0,1(u1-0.5α)=1-0.5α。

P{X<u1-0.5α}= F0,1根据标准正态分布密度曲线的对称性,当α=0.5时,uα=0;当α<0.5时,uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出 u 1-α,然后得到uα=-u1-α。

(uα)=α,论述如下:当X~N(0,1)时,P{X< uα}= F0,1(u1-α)=1-α,P{X< u1-α}= F0,1(u1-α)=α,P{X> u1-α}=1- F0,1故根据标准正态分布密度曲线的对称性,uα=-u1-α。

例如,u 0.10=-u 0.90=-1.282,u 0.05=-u 0.95=-1.645,u 0.01=-u 0.99=-2.326,u 0.025=-u 0.975=-1.960,u 0.005=-u 0.995=-2.576。

又因为P{|X|< u1-0.5α}=1-α,所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u 1-0.5α和-u1-0.5α。

标准正态分布常用的上侧α分位数有:α=0.10,u 0.90=1.282;α=0.05,u 0.95=1.645;α=0.01,u 0.99=2.326;α=0.025,u 0.975=1.960;α=0.005,u 0.995=2.576。

χα(n)。

3)卡平方分布的α分位数记作2χα(n)>0,当X~2χ(n)时,P{X<2χα(n)}=α。

2χ0.005(4)=0.21,2χ0.025(4)=0.48,例如,2χ0.05 (4)=0.71,2χ0.95(4)=9.49,2χ0.975(4)=11.1,2χ0.995(4)=14.9。

24)t分布的α分位数记作tα(n)。

当X~t (n)时,P{X<t α(n)}=α,且与标准正态分布相类似,根据t分布密度曲线的对称性,也有tα(n)=-t1-α(n),论述同uα=-u1-α。

例如,t0.95(4)=2.132,t 0.975(4)=2.776,t 0.995(4)=4.604,t 0.005(4)=-4.604,t 0.025(4)=-2.776,t 0.05(4)=-2.132。

另外,当n>30时,在比较简略的表中查不到tα(n),可用uα作为tα(n)的近似值。

5)F分布的α分位数记作Fα(n , m)。

Fα(n , m)>0,当X~F (n , m)时,P{X<Fα(n , m)}=α。

另外,当α较小时,在表中查不出F α(n , m ),须先查F 1-α(m , n ),再求F α(n , m )=),(11n m F α-。

论述如下: 当X ~F(m , n )时,P{X< F 1-α(m , n )}=1-α, P{X 1>),(11n m F α-}=1-α,P{X 1<),(11n m F α-}=α, 又根据F 分布的定义,X 1~F(n , m ),P{X 1<F α(n , m ) }=α, 因此 F α(n , m )= ),(11n m F α-。

例如,F 0.95 (3,4)=6.59,F 0.975 (3,4)=9.98,F 0.99 (3,4)=16.7,F 0.95 (4,3)=9.12,F 0.975 (4,3)=15.1,F 0.99 (4,3)=28.7,F 0.01 (3,4)=7.281,F 0.025 (3,4)=1.151,F 0.05 (3,4)=12.91。

【课内练习】1. 求分位数①χ20.05(8),②χ20.95(12)。

2. 求分位数① t 0.05(8),② t 0.95(12)。

3. 求分位数①F 0.05(7,5),②F 0.95(10,12)。

4. 由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

6. 若X ~χ2(4),P{X<0.711}=0.05,P{X<9.49}=0.95,试写出有关的分位数。

7. 若X ~F(5,3),P{X<9.01}=0.95,Y ~F(3,5),{Y<5.41}= 0.95,试写出有关的分位数。

8. 设X 1、X 2、…、X 10相互独立且都服从N(0,0.09)分布,试求P{X i i2∑>1.44}。

习题答案:1. ①2.73,②21.0。

2. ①-1.860,②1.782。

3. ①1488.,②3.37。

4. 1.960为上侧0.025分位数,-1.960与1.960为双侧0.05分位数。

5. 2.132为上侧0.05分位数,-2.132与2.132为双侧0.1分位数。

6. 0.711为上侧0.95分位数,9.49为上侧0.05分位数,0.711与19.49为双侧0.1分位数。

7. 9.01为上侧0.05分位数,5.41为上侧0.05分位数,1901.与5.41为双侧0.1分位数,1541.与9.01为双侧0.1分位数。

8. 0.1。

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