排队论习题1. 一个车间内有10台相同的机器，每台机器运行时每小时能创造4元的利润，且平均每小时损坏一次。

而一个修理工修复一台机器平均需4小时。

以上时间均服从指数分布。

设一名修理工一小时工资为6元，试求：（i ）该车间应设多少名修理工，使总费用为最小；解:这个排队系统可以看成是有限源排队模型M/M/s/10，已知 11,0.25,4,104m λλμρμ====== 设修理工数为s ,由公式()()11010!!!!!!s m n n n n n s m m p m n n m n s s ρρ---==⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦∑∑()11001m q nn ss s s n q n n n L n s p L np L s p =--===-⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∑∑∑ 目标函数为min 64s s L =+，用lingo 求解得到1s =，此时平均队长9.5s L =台，又因为当维修工数10s =时平均队长8s L =，说明此模型不合理。

对模型进行修正，由于要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。

所以假设一名修理工修复一台机器平均需0.5小时，即设2μ=。

用lingo 求解得维修工数3s =，平均队长，此时的最小费用为35.97元。

（1）程序：model:lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10;load=m*rho;L_s=@pfs(load,s,m);lamda_e=lamda*(m-L_s);min=6*s+4*L_s;@gin(s);endLocal optimal solution found.Objective value: 35.97341Objective bound: 35.97341Infeasibilities: 0.1000005E-09Extended solver steps: 0Total solver iterations: 388Variable ValueLAMDA 1.000000MU 2.000000RHO 0.5000000M 10.00000LOAD 5.000000L_S 4.493352S 3.000000LAMDA_E 5.506648（ii）若要求不能运转的机器的期望数小于4台，则应设多少名修理工；L ，求得应设解：同上，用有限源排队模型求解，增加约束条件4s4名修理工。

程序：model:lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10;load=m*rho;L_s=@pfs(load,s,m);lamda_e=lamda*(m-L_s);min =6*s+4*L_s;L_s<4;@gin (s);endLocal optimal solution found.Objective value: 38.85625Objective bound: 38.85625Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 2Total solver iterations: 702Variable Value Reduced Cost LAMDA 1.000000 0.000000 MU 2.000000 0.000000 RHO 0.5000000 0.000000 M 10.00000 0.000000LOAD 5.000000 0.000000 L_S 3.714062 0.000000 S 4.000000 2.882840LAMDA_E 6.285938 0.000000（iii ）若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，又应设多少名修理工。

解：同第一问解法相同，首先只增加约束条件4q q L W λ=<小时，求得8s L >，不合理。

因此再增加一个约束条件5s L <，解得等待时间为4小时，应设3名修理工。

程序model :lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10;load=m*rho;L_s=@pfs (load,s,m);lamda_e=lamda*(m-L_s);L_q=L_s-(1-p_0);w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;min =6*s+4*L_s;w_q<4;L_s<5;@gin(s);endLocal optimal solution found.Objective value: 35.97341Objective bound: 35.97341Infeasibilities: 0.1000005E-09Extended solver steps: 0Total solver iterations: 99Variable Value LAMDA 1.000000 MU 2.000000 RHO 0.5000000 M 10.00000 LOAD 5.000000 L_S 4.493352 S 3.000000 LAMDA_E 5.506648 L_Q 3.609552 P_0 0.1162004 W_S 0.8159868 W_Q 0.65548992. 到达某铁路售票处顾客分两类：一类买南方线路票，到达率为1λ/小时，另一类买北方线路票，到达率为2λ/小时，以上均服从泊松分布。

该售票处设两个窗口，各窗口服务一名顾客时间均服从参数10μ=的指数分布。

试比较下列情况时顾客分别等待时间：（i ）两个窗口分别售南方票和北方票；（ii ）每个窗口两种票均出售。

（分别比较122,4,6,8λλ==时的情形）解：（i ）这一排队系统可以看成是一个单服务台等待制模型M /M /1/∞ 其中12λλ=，10μ=，12λλρμμ==由公式()()1212q W λλμμλμμλ==-- 用lingo 求解得到达率()12λλ=/小时平均等待时间/分钟 2 1.5 44 69 8 24程序model :s=1;lamda=2;mu=10;rho=lamda/mu;l_q=rho^2/(1-rho);w=l_q/lamda;w_q=w*60;end解：（ii ）这一排队系统可以看成多服务台等待制模型（M /M / s /∞）其中122λλ==，平均服务率120.50.52λλλ=+=，10μ=，20.210λρμ=== 由公式()()()0,!1,1s s s q s q q c s p s c s L L W ρρρρρρλ=-=-=用lingo 求解得到达率()12λλ=/小时平均等待时间/秒 2 3.6364 415 635.6044 8 68.5714程序model :s=2;lamda_1=4;lamda_2=4;mu=10;lamda=1/2*lamda_1+1/2*lamda_2; rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;P_wait=@peb (rho,s);p0=2*(1-rho_s)/rho^2*P_wait;L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);W_q=L_q/lamda*60*60;end3. 一名修理工负责5台机器的维修，每台机器平均每2h 损坏一次，又修理工修复一台机器平均需时18.75min ，以上时间均服从负指数分布。

试求：（1）所有机器均正常运转的概率；（2）等待维修的机器的期望数；（3）假如希望做到有一半时间所有机器都正常运转，则该修理工最多看管多少台机器。

（4）假如维修工工资为8元/h ，机器不能正常运转时的损失为40/h ，则该修理工看管多少台机器较为经济合理。

解：这个排队系统可以看成是有限源等待模型M/M/1/5 已知11260120λ==⨯，118.75μ=， ,5m λρμ== （1）（2）由公式 ()()10001!!1m n n m q n m p m n L n p ρ-==⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦=-∑∑用lingo 求解得所有机器均正常运转的概率为0.3874，等待维修的机器的期望数为0.4670（1）（2）model :lamda=1/(2*60);mu=1/18.75;rho=lamda/mu;s=1;m=5;load=m*rho;L_s=@pfs(load,s,m);p_0=1-(m-L_s)*rho;lamda_e=lamda*(m-L_s);L_q=L_s-(1-p_0);end结果：Variable ValueLAMDA 0.8333333E-02MU 0.5333333E-01RHO 0.1562500S 1.000000M 5.000000LOAD 0.7812500L_S 1.079549P_0 0.3874295LAMDA_E 0.3267042E-01 L_Q 0.4669786（3）在上述基础上，增加目标函数、约束条件00.5p解得假如希望做到有一半时间所有机器都正常运转，则该修理工最多看管3台机器。

程序model:lamda=1/(2*60);mu=1/18.75;rho=lamda/mu;s=1;load=m*rho;L_s=@pfs(load,s,m);p_0=1-(m-L_s)*rho;max=m;p_0>1/2;@gin(m);endLocal optimal solution found.Objective value: 3.000000Objective bound: 3.000000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 288Variable Value Reduced Cost LAMDA 0.8333333E-02 0.000000 MU 0.5333333E-01 0.000000 RHO 0.1562500 0.000000 S 1.000000 0.000000 LOAD 0.4687500 0.000000 M 3.000000 -1.000000 L_S 0.5069116 0.000000 P_0 0.6104549 0.000000(4)model:lamda=1/(2*60);mu=1/18.75;rho=lamda/mu;s=1;load=m*rho;L_s=@pfs(load,s,m);min=40*L_s+8*mu;@gin(m);@bnd(1,m,5);end结果:Objective value: 5.832072 Variable Value Reduced CostLAMDA 0.8333333E-02 0.000000MU 0.5333333E-01 0.000000RHO 0.1562500 0.000000S 1.000000 0.000000LOAD 0.1562500 34.59459M 1.000000 0.000000L_S 0.1351351 0.000000。