注意：在第1种方法中，一般要求生产函数是 规模报酬递减的。由成本最小化导出要素的需求 函数的方法更具有一般性。
二、要素价格变化对要素需求量的影响
定义：f ( x1, x2 )严格为凹,如果
f11 0, f 22 0 f11 f12 f 21 f 22
2 f11 f 22 f12 0
x1 x1 (r1, r2 , p), x2 x2 (r1, r2 , p)
q Ax 例： 1 x2 , 0, 0, 1, x1 0, x2 0.
求关于x1和x2需求函数：
解 : pf1 p Ax1 1 x2 r1 1 pf 2 p Ax1 x2 r2
拉氏函数为：
L( x1 , x2 ) r1 x1 r2 x2 f ( x1 , x2 ) q L r1 f1 0 x1 L r2 f 2 0 x2
L f ( x1 , x2 ) q r1 f1 可解出要素的需求函数 从 f r2 2
第七章 要素需求函数、成本 函数、利润函数与供给函
本章要点
§1.要素需求函数 §2.短期成本函数和长期成本函数 §3.学习曲线与成本次可加性 §4.利润函数与供给函数
§1.要素需求函数
一、要素需求函数的推导
令q f ( x1, x2 ), C r1x1 r2 x2 b pq C
C(r1, r2 , q) r x (r , r2 , q) r x (r1, r2 , q)
* 1 1 1 * 2 2
二、短期成本函数
成本函数可表示为： C (q, r1 , r2 ) b 若生产函数为： q f ( x1, x2 ), 若要素价格给定, 于是 C (q) b 1.平均成本（AC或ATC）与边际成本（MC）的关系 C (q) b ATC q q (q) AVC q
后两式可写作：
pf11 pf12 dx1 f1d p dr1 pf pf dx f d p dr 21 22 2 2 2
2 用克莱姆法则解dx1和dx2, D f11 f。 f12 是指x2增加 后对x1的边际产量的作用。f1为资本的边际产出。
p对x1的影响
令dr1 dr2 0, 则有
1 dx1 ( f12 f 2 f 22 f1 )dp, 即 pD dx1 1 [ f12 f 2 f 22 f1 ] 0 dp pD 通常f12为正, D 0, f 22 0, f1 0, 于是有 : dx1 0 dp
pf ( x1 , x2 ) r1 x1 r2 x2 b
pf1 r1 0, pf 2 r2 0 x1 x2 即pf1 r1 , pf 2 r2
说明，利润最大化的条件为要素的使用要达到 其边际产量的价值=要素价格。
由上述条件可导出要素的需求函数：
r1 x2 x1 r2
把x2代入第1个式子,有:
r1 p Ax x1 r1 r2 1 p 1 r1 1r2 x1
1 1

令1 r, 则
x1 r1
1 r 1 r ( pA) 1 (r1 , r2 , p ) r2
1 dx1 2 [( f1dp dr1 ) pf 22 ( f 2 dp dr2 ) pf12 ] p D 1 [ f 22 dr1 f12 dr2 ( f12 f 2 f 22 f1 )dp] pD
1 dx2 [ f 21dr1 f11dr2 ( f 21 f1 f11 f 2 )dp] pD
r
同理,x2 r1 r2
r
1 r
( pA) 2 (r1 , r2 , p )
1 r
用成本最小化求要素需求函数
min{ x1r1 x2 r2 } s.t. f ( x1 , x2 ) q x 0, x 0 2 1
r1对x1的影响
令dr2 dp 0, 则有
1 dx1 ( f 22 dr1 ),即 pD dx1 1 f 22 0 ( D 0, f 22 0) dr1 pD
r2对x1的影响
令dr1 dp 0, 则有
dx1 1 ( f12 ) 0 ( D 0, 若f12 0) dr2 pD
§2.短期成本函数和长期成本函数
一、成本函数的定义
生产函数q f ( x1, x2 ), r1, r2为要素价格, x1 0, x2 0, 成本函数为:
C (r1 , r2 , q) min (r1 x1 r2 x2 ) s.t. f ( x1 , x2 ) q * x 上述最小化问题的解 1 (r1 , r2 , q) 称为条件（产出量 给定时求要素需求）要素需求函数。则成本函数为：
当生产函数严格为凹时，利润极大化问题有解。
pf1 r1 0 pf 2 r2 0
求上式关于x1、x2、r1、r2和p的全微分，可得：
pf11dx1 pf12 dx2 f1dp dr1 0 pf 21dx1 pf 22 dx2 f 2 dp dr2 0 pf11dx1 pf12 dx2 f1dp dr1 pf 21dx1 pf 22 dx2 f 2 dp dr2