一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，，直接写出tan∠CEB的值．【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，∴∠BAP=∠CPM=∠C，∴MP=MC∵tan∠PAC=，设MN=2m,PN=m,根据勾股定理得，PM=,∴tanC=（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴ =同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC= =【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。

2．如图1，在△ABC中，点DE分别在AB、AC上，DE∥BC，BD=CE，（1）求证：∠B=∠C，AD=AE；（2）若∠BAC=90°，把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN．①判断△PMN的形状，并说明理由；________②把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN的最大面积为________ 。

【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴，∵BD=CE，∴AB=AC，∴∠B=∠C，AB﹣BD=AC﹣CD，∴AD=AE，即：∠B=∠C，AD=AE（2）解：△PMN是等腰直角三角形，理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM= CE，PM∥CE，∵点N，M分别是BC，DE的中点，∴PN= BD，PN∥BD，∵BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB +∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；【解析】【解答】解：②由①知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN= BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在AB的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大= PM2= ×72= ．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理及BD=CE可得AB=AC,进而可得AD=AE,由等边对等角可得∠B=∠C.（2）①由中位线定理可得PM=CE,PM//CE,PN=BD,PN//BD,由BD=CE 可得PN=PM.由两直线平行同位角相等可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC,利用三角形的外角的性质和等量代换可得∠MPN=∠ABC+∠ACB=∠BAC=90°，所以△PMN是等腰直角三角形。

②当PN最大时，△PMN的面积最大，当点D在AB的延长线上时，PN最大，PN=BD=7,根据三角形的面积计算公式可得结论。

3．如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF.（1）当∠BAC＝30º时，求△ABC的面积；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∴BC= AB=5，∴AC= ，∴S△ABC= AC⋅BC=（2）解：连接AD，∵∠ACB=90°，CD=BC，∴AD=AB=10，∵DE⊥AB，∴AE= =6，∴BE=AB−AE=4，∴DE=2BE，∵∠AFE+∠FAE=90°，∠DBE+∠FAE=90°，∴∠AFE=∠DBE，∵∠AEF=∠DEB=90°，∴△AEF∽△DEB，∴ =2，∴EF= AE= ×6=3（3）解：连接EC，设E(x，0)，当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；①0°< 的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D，又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，∴，∵EC是Rt△BDE斜边的中线，∴CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，∴∠EOF=∠CEB，∴OF∥CE，∴△AOF∽△AEC∴，∴，即，解得x= ，因为x>0，∴x= ；②60°< 的度数<90°时，点E在O点的左侧，若∠EOF=∠B，则OF∥BD，∴OF= BC= BD，∴即解得x= ，若∠EOF=∠BAC，则x=− ，综上点E的坐标为( ，0) ；（，0）；（−，0）.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标.4．已知：如图，在四边形中，，，，，垂直平分 .点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作，交于点，过点作，分别交，于点， .连接， .设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，点在的平分线上？（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式.（3）连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：在中，∵，，，∴，∵垂直平分线段，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴∠BPE=∠BCA=90°又∠B=∠B∴△BPE∽△BAC∴即∴，，当点在的平分线上时，∵，，∴，∴，∴ .∴当为4秒时，点在的平分线上.（2）解：如图，连接， ..（3）解：存在.如图，连接 .∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，整理得：，解得或10(舍)∴当秒时， .【解析】【分析】（1）根据勾股定理求AC，根据证，求出CD、OD的值，根据△BPE∽△BAC得到比例式，用含有t的代数式表示出PE、BE，当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据构建函数关系式即可．（3）证明∠EOC=∠QOG，可得，推出，由此构建方程即可解决问题．5．如图，已知一次函数y=﹣ x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x 轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.【答案】（1）解：当x=0时，y=4，∴A（0，4），∴OA=4，当y=0时，- x+4=0，x=3，∴B（3，0），∴OB=3，由勾股定理得：AB=5（2）解：①如图1，过N作NH⊥y轴于H，过M作ME⊥y轴于E，tan∠OAB= ，∴设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，∴M（3x，-4x+4），由旋转得：AM=AN，∠MAN=90°，∴∠EAM+∠HAN=90°，∵∠EAM+∠AME=90°，∴∠HAN=∠AME，∵∠AHN=∠AEM=90°，∴△AHN≌△MEA，∴AH=EM=3x，∵⊙N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NG⊥x轴，∴NG=OH，则5x=3x+4，2x=4，x=2，∴M（6，-4）；②如图2，由①知N（8，10），∵AN=DN，A（0，4），∴D（16，16），设直线DM：y=kx+b，把D（16，16）和M（6，-4）代入得：，解得：，∴直线DM的解析式为：y=2x-16，∵直线DM交x轴于E，∴当y=0时，2x-16=0，x=8，∴E（8，0），由①知：⊙N与x轴相切，切点为G，且G（8，0），∴E与切点G重合，∵∠QAP=∠OAB=∠DCE，∴△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，分两种情况：i）当△DCE∽△QAP时，如图2，∠AQP=∠NDE，∵∠QNA=∠DNF，∴∠NFD=∠QAN=90°，∵AO∥NE，∴△ACO∽△NCE，∴，∴，∴CO= ，连接BN，∴AB=BE=5，∵∠BAN=∠BEN=90°，∴∠ANB=∠ENB，∵EN=ND，∴∠NDE=∠NED，∵∠CNE=∠NDE+∠NED，∴∠ANB=∠NDE，∴BN∥DE，Rt△ABN中，BN= ，sin∠ANB=∠NDE= ，∴，∴NF=2 ，∴DF=4 ，∵∠QNA=∠DNF，∴tan∠QNA=tan∠DNF= ，∴，∴AQ=20，∵tan∠QAH=tan∠OAB= ，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，∴5x=20，x=4，∴QH=3x=12，AH=16，∴Q（-12，20），同理易得：直线NQ的解析式：y=- x+14，∴P（0，14）；ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，∴∠APN=∠CDE，∵∠ANB=∠CDE，∵AP∥NG，∴∠APN=∠PNE，∴∠APN=∠PNE=∠ANB，∴B与Q重合，∴AN=AP=10，∴OP=AP-OA=10-4=6，∴P（0，-6）；综上所述，△APQ与△CDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，-6）【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB 的长度；（2）①根据同角的三角函数得：tan∠OAB= ，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，得M（3x，-4x+4），证明△AHN≌△MEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可得x的值，计算M的坐标即可；②如图2，先计算E与G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：i）当△DCE∽△QAP时，证明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO= ，根据三角函数得：tan∠QNA=tan∠DNF= ，AQ=20，则tan∠QAH=tan∠OAB= ，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）.6．在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.（1）如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；（2）将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘). 如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出线段MN的长；（3）图3, 旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE 时，线段EM与EN的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是________.【答案】（1）解：EM＝EN;原因如下：∵∠ACB＝90° AC＝BC D是AB边上的中点∴DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45°∠CDB＝90°∴∠CDF＋∠FDB＝90°∵∠GDF＝90°∴∠GDC＋∠CDF＝90°∴∠CDM＝∠BDN在△CDM和△BDN中∠MCD＝∠B，DC＝DB，∠CDM＝∠BDN，∴△CDM≌△BDN ∴DM＝DN 即EM＝EN（2）解：作DP⊥AC于P,则∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1∵∠CDG＝15°∴∠MDP＝30°∵cos∠MDP＝∴DM＝， DM＝DN，∵△MND为等腰直角三角形∴MN＝（3）NE＝2ME；EN＝(m－1)ME【解析】【解答】解：(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME证明：如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°∴AE＝PE ∵AB＝3AE ∴BE＝2AE ∴BE＝2PE又∵∠MEP＋∠PEN＝90°∠PEN＋∠NEB＝90°∴∠MEP＝∠NEB又∵∠MPE＝∠B＝45°∴△PME∽△BNE∴，即EN＝2EM由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME【分析】（1）EM＝EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45°∠CDB＝90°根据同角的余角相等得出∠CDM＝∠BDN，然后由ASA判断出△CDM≌△BDN 根据全等三角形的对应边相等得出DM＝DN 即EM＝EN；（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠CDP＝45°CP＝DP＝AP＝1，根据角的和差得出∠MDP＝30°，根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由cos∠MDP＝得出DM的长，又DM＝DN，故△MND为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出MN 的长；(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME，如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P，则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°，根据同角的余角相等得出∠MEP＝∠NEB然后判断出△PME∽△BNE，根据相似三角形对应边成比例即可得出u结论，由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME7．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．【答案】（1）解：当x=0，y=3，∴C（0,3）设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x- ).将c（0，3）代入得：- a=3，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=-2x2+x+3（2）解：过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N。