2个费米子
A k1k2
q1,q2
12k1
q1k2
q2k1
q2k2
q1
Quantum Mechanics
1 k1 q1 k1 q2 2k2 q1 k2 q2
2个玻色子
s k1k2
q1,q2
cn 2an
A (rv)(rv)drv n cn2
n
对于归一的波函数此项为一。
Quantum Mechanics
矩阵表示
A
a1
c1
b1
d1
A ac11
b1 d1
*
a1 c1
db1112an12
A
n
Quantum Mechanics
解存在的条件
久期方程
a1 an
b 0
c d1 an
给出 a n ，一般是多值。 对应不同本征值 a n 代入本征方程中，在考虑归一化条件，
A B A B 1 [A ,B ] 1[A ,B ]
2
2
Quantum Mechanics
2、量子力学基本原理： （1）状态→数学上用波函数描述，波函数是
(r,t)的函数，
是希尔伯特空间中的矢量。
波函数满足标准化条件：单值、连续、有限（或平方可积）。
波函数|ψ(x,t)|2才有物理意义，解释为概率密度。 在t时刻，在x--x+dx区域发现粒子的概率：dp=|ψ(x,t)|2 dx
a* c* a b b* d* c d
Quantum Mechanics
② AB C C B A
③ 本征值为一些实数， ④ 计算的常用基本公式
也是体系中测量这些力学量得 到的测量值
[xi, pˆj ]iij (i, j 1,2,3)
ij
0 1
ij ij
L i,L j iijL kk
H ˆ T ˆ V ˆp v ˆ2 V r v h 2 V (r v )
2 m
2 m
当哈密顿量不显含时间时，即势能不是时间函数时， 体系的状态为定态
Quantum Mechanics
定态方程 H ˆ(r)E(r)
(r,t)(r)ei Et
对所有表象 都成立。
① 在定态状态时 a、空间概率密度和概率流密度不随时间改变。 b、测量系统能量总是有确定值。
F(xˆ,pˆ) anm xnpm
m,n
Quantum Mechanics
常见力学量算符： Tˆ pˆ2 i 2m
Vˆ V(r ˆ) L ˆr ˆp ˆi r
在直角坐标系中：
Lˆx yˆpˆz zˆpˆy Lˆy zˆpˆx xˆpˆz
Lˆz xˆpˆy yˆpˆx
在球坐标系中：L ˆxisin co ct o s
就可得到本征函数
① 属于不同本征值的本征函数彼此正交。
② 可计算的类型题：
Quantum Mechanics
Ⅰ、计算平均值和不确定度 Ⅱ、计算本征值和本征函数 Ⅲ、计算本征值出现的概率，或塌缩到本征态的概率
(4) 状态的演化
Schrödinger方程
i ( r t) H ˆ ( r ,p ˆ )( r t) H ˆ ( r , i )( r t) t
hc
m2c4 E02
如光子： m0 0 h mc
Epcmc2
pmc
Quantum Mechanics
（2）物体的运动具有不确定度，任何两个共轭物理量均有
不确定度存在，即不可能同时精确测量两个共轭物理量。
对于 r、p： [x, px]i
xpx 2
对于任一物理量：
[y, py]i
[z, pz]i
② 方程中常带有本征值问题，通过边界条件，可以确定出本 征值 ③ 能计算的问题
Quantum Mechanics
Ⅰ、无限深势阱问题。 Ⅱ、中心力场问题。 Ⅲ、谐振子问题。 Ⅳ、已知初始时刻波函数，求任意时刻波函数问题。 （5）全同粒子状态的描述
全同粒子波函数为对称化函数. 费米子：为反对称波函数，粒子交换一次位置，改变符号。 玻色子：为对称波函数，粒子交换一次位置，不改变符号。
出现塌缩
出现力学量 可能测量值
(rv) cn n(rv)
Aˆ
n
(rv)
n
an
n
(
rv)
本征 函数
每个值以一定 的概率出现
cn 的平方是出现第n
个本征值的概率
Quantum Mechanics
矩阵表示
c1a c1 1 d b1 1c2a c2 2 d b2 2...
力学量平均值
(rv)Aˆ(rv)drv
Quantum Mechanics
费米子：
k1q1 k1q2 L k1qN
A k1LkN
q1,L,qN
1 k2q1
N! M
k2q2
M
L
k2qN
M
kNq1 kNq2 L kNqN
玻色子：
n i!
s n 1 Ln N
q 1,L,q N
i
N !
P k 1
P
q 1LLLkN q N
si ,sj=ihεi jksk
s
2
x
y
y
x
2i
z
y z z y 2 i x
z x x z 2 i y
Quantum Mechanics
⑤ 如果一体系有一组算符完备组，则任何一个算符 都可以该组算符展开。
（3）力学量的测量 测力学量A时，将状态函数以A本征函数展开
状态 函数
L ˆyi co s ntum Mechanics
④厄米算符及性质
定义 A , ,A
因为 A ˆ , ,A ˆ
性质
Aˆ Aˆ
① Aˆ Aˆ 含义： 算符时指： A ˆ A ~ˆ*
矩阵时指：
A
a c
b
d
( ,A ~ ˆ)(*,A *)
A ˆ*A ˆ**
Quantum Mechanics
量子力学总结
一、量子力学的基本思想和基本原理
1、量子力学基本思想 （1）物质的运动伴随物质波，物质波波长可由下式求出：
p h
对于非相对论粒子： 如自由粒子：
ETV
E p2 2m
h
2mE
Quantum Mechanics
对于相对论粒子： E p2c2E02 m2c
波函数满足的两个条件：
归一化条件：∫|ψ|2 dτ=1
ψ / 连续
Quantum Mechanics
（2）物理量用厄米算符表示，对体系物理量的测量，体现在 厄米算符对波函数的作用，说明了量子力学理论包括了测量 对体系的影响。 ①一般经典力学量是坐标和动量的函数，这类力学量对应的 算符可直接将函数中的坐标和动量换为相应的算符即可得到。 ②对于不是的经典力学量，如自旋、宇称等，量子力学中重 新给出定义。 ③一般算符可以展开为动量和坐标的级数形式：