直角三角形【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， .（4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③（是自然数）是直角三角形的三条边长； ④（是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.a b ，c 222a b c +=222a cb =-222b c a =-()222c a b ab =+-222x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22121n n n -+，，1,n n >2222,21,221n n n n n ++++n 2222,,2m n m n mn -+,m n m n >、图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】 类型一、勾股定理1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为、、．（1）已知＝2，＝3，求；（2）已知，＝32，求、．2、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？a b c a b c c b a a b c b c a :3:5a c b a c cmcm举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？类型二、勾股定理的逆定理3、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()；举一反三：【变式1】判断以线段为边的△ABC 是不是直角三角形，其中．【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ） A ．20:15:12 B ．3:4:5 C ．5:4:3 D ．10:8:2m m a b c ，，a b c a 43b c 3422a m n =-22b m n =+2c mn =0m n >>a b c ，，a =b =2c =4、已知a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用5、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）类型四、原命题与逆命题6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．举一反三：【变式1】下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．【变式2】根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题： （1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．a b c ，，222a b c +=8、如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC ．【巩固练习】 一.选择题1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.150B.200C.225D.无法计算2.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a=1.5，b=2，c=3B ．a=7，b=24，c=25C ．a=6，b=8，c=10D ．a=3，b=4，c=53．三角形的三边长分别为 、、（都是正整数），则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ． 钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定4．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）cm 2cm2cm 2cm 22a b +2ab 22a b -a b、A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米 5．下列各命题的逆命题成立的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ） A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是二.填空题7．命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是 ．8. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC.若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点重合，则AC ＝ .9. 已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为 时，这3条线段能组成一个直角三角形．10. 如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．11. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.cm 'Bcm cm cmcm三.解答题13. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．14.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．15.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？16. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.。