第19讲 解直角三角形
1．已知tanA ＝1，则锐角A 的度数是( B )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
2．(·怀化)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝4
5，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( C )
A ．6 cm
B ．7 cm
C ．8 cm
D ．9 cm
3．(·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C ) A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝AC BC C ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CD AC
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝5
13，则tanB 的值为( D )
A.1213
B.512
C.1312
D.125
5．(·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB ′的位置，测得∠PB′C ＝α(B′C 为水平线)，测角仪的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( A ) A.11－sin α B.11＋sin α C.11－cos α D.11＋cos α
6．(·白银)如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是92
．
7．(·岳阳)如图，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了100米．
8．(·福州)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，
A ，
B ，
C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是
32
．
9．(·丽水)数学拓展课程(玩转学具)课堂中，小陆同学发现，一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝
BC tanA ＝2
tan30°
＝2 3. 由题意得EF ＝AC ＝23，在Rt △EFC 中，∠E ＝45°， ∴CF ＝EF·cos45°＝23×
2
2
＝ 6. ∴AF ＝AC －CF ＝23－ 6.
10．(·黄石)如图，为测量一座山峰CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB ＝800米，BC ＝200米，坡角∠BAF ＝30°，∠CBE ＝45°. (1)求AB 段山坡的高度EF ；
(2)求山峰的高度CF.(2≈1.414，结果精确到1米)
解：(1)过点B 作BH ⊥AF 于点H. 在Rt △ABH 中，∵sin ∠BAH ＝BH
AB ，
∴BH ＝800×sin30°＝400(m)． ∴EF ＝BH ＝400 m.
答：AB 段山坡高度为400米． (2)在Rt △CBE 中，∵sin ∠CBE ＝
CE BC
， ∴CE ＝200×sin45°＝1002≈141.4(m)， ∴CF ＝CE ＋EF ＝141.4＋400≈541(m)． 答：CF 的高度约为541米．
11．(·台州)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm.图1是一位同学的坐姿，把她的眼睛B，肘关节
C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC.已知BC＝30 cm，AC＝22 cm，∠ACB＝53°，她的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)
解：该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．
理由：过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△BDC中，
BD＝BCsin53°≈30×0.8＝24(cm)，
CD＝BCcos53°≈30×0.6＝18(cm)．
∴AD＝AC－CD＝4(cm)．
在Rt△ABD中，
AB＝AD2＋BD2＝592(cm)＜30(cm)．
∴该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．
12．(·永州)下列式子错误的是( D )
A．cos40°＝sin50°B．tan15°·tan75°＝1
C．sin225°＋cos225°＝1 D．sin60°＝2sin30°
13．(·巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列
关系或说法正确的是( B )
A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米D．AB＝1.2
cos10°
米
14．(·娄底)如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作BE⊥AD 于E，CF⊥AD于F，则BE＋CF的值( C )
A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小
15．如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)
解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，设AF ＝x 米． 在Rt △ACF 中， tan ∠ACF ＝AF CF
， 则CF ＝
AF tan ∠ACF ＝x tan α＝x
tan30°
＝3x.
在Rt △ABE 中，AB ＝x ＋BF ＝4＋x(米)，
tan ∠AEB ＝AB BE ，则BE ＝AB tan ∠AEB ＝x ＋4tan60°＝3
3(x ＋4)米．
∵CF －BE ＝DE ，即3x －3
3
(x ＋4)＝3. 解得x ＝33＋4
2
.
则AB ＝33＋42＋4＝33＋12
2(米)．
答：树高AB 是33＋12
2米．
16．(·连云港)如图，在△ABC 中，C ＝150°，AC ＝4，tanB ＝1
8
.
(1)求BC 的长；
(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)
解：(1)过A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于D ， 在Rt △ADC 中，AC ＝4，∠ACD ＝30°， ∴AD ＝12AC ＝2，CD ＝AC·cos30°＝4×3
2＝2 3.
在Rt △ABD 中，tanB ＝AD BD ＝2BD ＝1
8，∴BD ＝16.
∴BC ＝BD －CD ＝16－2 3.
(2)在BC 边上取一点M ，使得CM ＝AC ，连接AM.
∵∠ACB ＝150°，∴∠AMD ＝∠MAC ＝15°.
∴tan15°＝tan ∠AMD ＝AD MD ＝24＋23＝1
2＋3≈0.3.
17．(·资阳)如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里．
(1)求出此时点A 到岛礁C 的距离；
(2)若“中国海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A′时，测得点B 在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)
解：(1)延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D. 由题意可得
∠CBD ＝30°， BC ＝120海里， 则DC ＝60海里． 故cos30°＝DC AC ＝60AC ＝3
2
.
解得AC ＝40 3.
答：点A 到岛礁C 的距离为403海里．
(2)过点A′作A′N ⊥BC 于点N ，A ′E ⊥BD 于点E ，
可得∠A′CN ＝30°，∠BA ′A ＝45°，∠A ′BN ＝∠A ′BA ＝15°. 则A′N ＝A′E. 设AA′＝x ，则A′E ＝32
x. 故CA′＝2A′N ＝2×
3
2
x ＝3x ， ∴3x ＋x ＝40 3. 解得x ＝20(3－3)．
答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3－3)海里．
18．(人教9下教材P78T2变式)如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是( C )
A．5sin36°米
B．5cos36°米
C．5tan36°米
D．10tan36°米
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