A D
A
B’ D’
A’ O’
B
O
B
在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等 , 所对 的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
B’ D’ A’
A D B
B’ D’ A’ O D
A
或 B
O
⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④OD=O′D′
和
O’
由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
结论
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
A O· B
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
圆的对称性及特性
圆是轴对称图形 , 圆的对称轴是任意一条经过圆心的 直线,它有无数条对称轴.
圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
A
用旋转的方法可以角度,都能与原来的图形重合. 这是圆特有的一个性质:圆的旋 转不变性
2.如图：∆ADE ∽ ∆ABC，AD=4cm,AE=3cm, AC=8cm,那么这两个三角形的相似比是（ B ）
3 （A） 4 1 （B） 2 3 （C） 8
（D）2
(第 3 题) BE 2 ＝ ， BC 3
3．如图，在平行四边形 ABCD 中， E 是 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果 那么 BF 2 ＝ . FD 3
圆心角
如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′,
你有什么发现？.
说一说你的理由. A B’ A’ D A B’ D’ A’ O
B
O
B
⌒ ⌒ AB=A′B′
AB=A′B′ OD=O′D′
• 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的 圆心角和∠AOB和∠A′O′B′
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
．
A
E
B
O F C
D
⌒ ⌒ 如图, 在⊙O中，AB= CB , ∠ACB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明： ⌒ ⌒ ∵AB= CD ∴AB=AC． 又∠ACB=60° ∴AB=BC=CA.
B
A
O
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
⌒ ⌒ ⌒ 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°， 求∠AOE 的度数．
AC AD 【解析】∵∠ACD＝∠ABC，∠BAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACB，∴ ＝ ， AB AC ∴AB· AD＝AC2，则 AB＝4，所以 BD＝AB－AD＝3.
如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC ，垂足为 E，连结 DE， F 为线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC. (2)若 AB＝4，AD＝3 3，AE＝3，求 AF 的长．
解：
E D
∵ BC=CD=DE
C
⌒ ⌒ ⌒
∴ ∠BOD=∠COD=∠DOE=35°
A O B
∴ ∠AOE=180°-3×35° =75°
⌒ ⌒ 如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， AD =BC, 求证： AB＝CD。
C B O D A
1.如图（６）， △ＡＢＣ中，
ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ， 则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________ １：３：５
4．如图，∠DAB＝∠ CAE，请补充一个条件：________，使得△ABC∽△ ADE.
(第 4 题) AB AC 答案不唯一，如∠ B＝∠D 或∠C＝∠ AED 或 ＝ 等． AD AE
如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD＝∠ABC，若 AC＝2 ，AD＝1 ， 则 DB＝________.
(1)证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC， AB∥CD.∴∠ ADF＝∠CED， ∠B ＋∠C＝ 180° . ∵∠AFE＋∠ AFD＝ 180° ，∠ AFE＝∠ B，∴∠ AFD＝∠C，∴△ ADF∽△DEC. (2)解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥ BC， CD＝ AB＝ 4.又∵ AE⊥ BC， ∴ AE⊥AD. AD AF 3 3 在 Rt△ ADE 中， DE＝ AD 2＋ AE 2＝ 3 32＋32 ＝6.∵△ ADF∽△DEC， ∴ ＝ ， ∴ DE CD 6 AF ＝ ，∴ AF＝ 2 3. 4
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两 条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对 应的其余各组量都分别相等.
A D B O B’ D’ A D B’ D’ A’ A’
或 B
O
和
O’
③AB=A′B′
①∠AOB=∠A′O′B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距． ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD ， OE=OF AB= CD ，_____________ （1）如果AB=CD，那么___________ ． ⌒ AB=CD ∠AOB=∠COD ， OE=OF （2）如果 ⌒ ，_____________ AB= CD ，那么___________ ⌒ ⌒ AB=CD ，_________ AB= CD , OE=OF ． （3）如果∠AOB=∠COD，那么__________ ⌒ ⌒ AB= CD ， ∠AOB=∠COD ． AB=CD （4）如果OE=OF，那么___________ ，__________