同时力的作用线通过转轴O。
③当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时， r FIR = 0，M IC = 0 ，惯性力系自成平衡力系。
五 达朗贝尔原理
23
3）平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运 动平面与质量对称平面互相平行。
对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力 系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
F1 FI1 FNam2m121FIiFmN1iFNFi ai
合力和外约束反力的合力，于是得
F2 a2
i
å
Mår OFr(i
+ Fi
å FrNi )+å
M+r
å FrIi O (FNi
=0 )+å
Mr O
( FIi
)
=
0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所
有主动力系，约束反力系和惯性力系构成形式上的平
五 达朗贝尔原理
24
解法1：利用达朗伯原理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：
以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr 求导得：aC = e Ar + e Br 由达朗伯原理：
åMO(F)
=
0,
1 2
×
P g
×r2
×eA
+
1 2
×
P g
×r2
×eB
-
P ×2r
衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
五 达朗贝尔原理
11
质点系达朗贝尔原理的投影形式
å Fix + FNix + FIix = Fx = 0 i
å Fiy + FNiy + FIiy = Fy = 0 i
å Fiz + FNiz + FIiz = Fz = 0 i
å M x (Fi ) + M x (FNi ) + M x (FIi ) = M x (F ) = 0 i
+
eB
)
+
P g
× aC
×
2r =P
×
2r
联立以上两式可以解得：aC
=
4 5
g
24
wA
FOy FOx
P
wB
D
P
vC
五 达朗贝尔原理
解法3：利用质点系动能定理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr
求导得：aC = e Ar + e Br
å Fy + FNy + FIy = Fy = 0 i
å Fz + FNz + FIz = Fz = 0 i
五 达朗贝尔原理
4
2 惯性力
对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等于 ma的力-ma存在，它作用在使质点运动状态发生改 变的物体上。
例如，人推车前进，这个 力向后作用在人手上。正 是通过这个力，我们感到 了物体运动的惯性，称这 个力为惯性力。
等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向 与质心加速度的方向相反；力偶 M IC 的矩等于刚体
对过质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，
转向与角加速度的转向相反。
五 达朗贝尔原理
24
刚体惯性力系的简化如下表所示：
3
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-57】图示机构O1ABO2为一平行四边形，O1A=O2B=R， O1O2=AB=l，在该瞬时杆O1A绕O1轴的角速度为ω，角加速度为 ε，则质量为m的均质杆AB的惯性力系向其质心C简化的主矢量
1
五 达朗贝尔原理
9
3 质点系的达朗伯原理
设非自由质点系由 n个质点组成，其中第 i 个
质点的质量为 mi，其加速度为 ai，作用在此质点上 的外力的合Fri力e +为FriFi i+e，Fr内Ii 力= 0的合力(i =为1,F2,i×。i ××, n)
对整个质点系来讲，有n 个这样的力系，将这 些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦 为平衡力系。任意力系的平衡条件是力系的主矢和
外，还与简化中心的位置有关。
1）平移
以刚体质心为简化中心
FrIR＝－marC
M IC＝0
结论：刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质 心的合力。其方向与平移加速度的方向相反，大 小等于刚体质量与加速度的乘积。
2
五 达朗贝尔原理
20
2）定轴转动
a）惯性力系的主矢 向转轴上任一点O简化，其上任
一点的惯性力的分量的大小为
FIτR FIτi
a
MOIOaCn
n
aCτ
i i
Mi
aCiτ
故 M IO = - J Oe
FIni
结论：对称平面的刚体绕垂直于该平面的轴转动时， 惯性力系简化为在平面内通过转轴O的一个惯性力和 一个惯性力偶。力FIR的大小等于刚体的质量与其质心 加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反； 力偶M IO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度
求导得：aC = e Ar + eBr
dH O dt
=
d dt
(
1 2
×
P g
×
r
2
×wA
+
1 2
×
P g
×r2
×wB
+
P g
×
vC
× 2r)
=
1 2
×
P g
×r2
× (e
A
+
eB
)
+
P g
×
aC
× 2r
å MO(F) = P × 2r
å 由 dHO =
dt
M O (F )得
1 2
×
P g
×
r2
× (e A
对任意å点MrOO 的(åF主ieFr)i矩e++分åå别MrF等rOii(于+Fiå零i ) +，FrIåi即=Mr0O (FIi ) = 0
五 达朗贝尔原理
10
i 质值点反系向的，内有力å总Fr是ii =成0对出å 现Mr O，(F且ii )彼=；此0而等
剩下的外力系又可分为作用在质点系上 的主动力系和外约束反力系，设 、 分别Fi为作FN用i 在第 个质点上的主动力的 FI2
五 达朗贝尔原理
24
以刚体质心为简化中心 设刚体作平面运动，取质心C为基点，这 时可将刚体的作平面运动分解为随同质心 的主平矢动：和绕质心的Fr转IR＝动－。得M arC
FIR
e
aC
M IC
主矩：
M IC = - J Ce
结论：平面运动刚体的惯性力系，可以简化为通过 质心C的一个惯性力和一个惯性力偶。力FIR 的大小
=
4 7
P
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-49】如图所示，均质圆柱A、B重均为P，半径均为r，
绳子一端绕在绕O轴转动的A圆柱上，另一端绕在B圆柱上。若不
计摩擦，则B落下时其质心C的加速度aC为( B )。
( A) g
(B) 4 g 5
(C) 3 g 4
(D) 1 g 2
分析：此题目的解法较多，可以用达朗伯原理，动能定理，动 量矩定理，及刚体平面运动微分方程等求解。
对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成 平面力系。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成 空间一般力系。
在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究 其简化问题。
以刚体质心为简化中心
五 达朗贝尔原理
18
（1）惯性力系的主矢 刚体惯性力系的主矢与
刚体运动形式无关
把刚体质心坐标公式
rrC
å =
mi rri M
FI M
F
令 FrI = -mar 则有 Fr + FrN + FrI = 0
a
FN
假想 FI是一个力，称为质点的惯性力。大小等于质量 与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。
在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动 力、约束反力和惯性力构成形式上的平衡力系。这就 是质点的达朗贝尔原理。
五 达朗贝尔原理
mR 2e
JOe
maC
(C)
R
'
=
1 2
mR
w4
+
e
2
,
MO'=来自1 2mR2e
(D)
R
'
=
1 2
mR
w4
+
e
2
,
MO
'
=
3 4
mR2e
分析：按定轴转动(转轴不通过质心)刚体惯性力系的简体 定义求解即可。
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-59】均质杆AB长为l，重为P，用两绳悬挂如图示。当
右绳突然断裂时，杆质心C的加速度aC和左绳拉力T的大小为 ( C )。
w e r a FInR
FIτR FIτi
MOIO
ain
i
aCn aCτ
Mi
Cτ
i
FIti = mi ait = mi ria FIni = mi ain = miriw 2 FIni
方向如图所示。该惯性力系的主矢为
r FIR＝－
marC＝－
m
(
arCt
+
arCn
)
即
FIRτ ＝－ maCτ