2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试衡水金卷压轴试卷
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
【详解】
由题意得 ，
∴ ．
故选D．
【点睛】
本题考查指数函数单调性的应用以及集合交集的求法，解题的关键是正确求出集合 ，属于容易题．
2．C
【解析】
【分析】
根据条件求出复数 ，然后再求出共轭复数 ，从而可得其虚部．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴复数 的虚部为 ．
故选C．
【点睛】
本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数 是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了 ．
(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性体验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?
（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
A． B． C． D．
4．已知双曲线方程为 , 为双曲线的左、右焦点, 为渐近线上一点且在第一象限,且满足 ,若 ,则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
5．已知 为锐角, ,则 的值为（）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图,则输出的 的值为（）
A． B． C． D．
7． ，则 的值为（）
14．由不等式组 ,组成的区域为 ,作 关于直线 的对称区域 ,点 和点 分别为区域 和 内的任一点,则 的最小值为__________．
15．函数 满足 , ,当 时, ,过点 且斜率为 的直线与 在区间 上的图象恰好有 个交点,则 的取值范围为_________．
16．在 中, 是边 上的一点, , ,则 __________．
A． B． C． D．
12．在正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥) 中， 三条侧棱两两垂直，正三菱锥 的内切球与三个侧面切点分别为 ,与底面 切于点 ,则三棱锥 与 的体积之比为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在 中, , ,则 与 的夹角为__________．
三、解答题
17．在数列 中,已知 , .
(1)若 是等比数列,求 的值；
(2)求数列 的通项公式.
18．如图所示, 平面 ,平面 平面 ,四边形 为正方形， , ,点 在棱 上.
(1)若 为 的中点 为 的中点,证明:平面 平面 ；
(2)设 ,是否存在 ,使得平面 平面 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
故选A．
【点睛】
求解概率问题时，首先要分清所求概率的类型，然后再根据每种类型的概率公式求解．对于一些比较复杂的事件的概率，可根据条件将其分解为简单事件的概率求解，再结合互斥事件的概率加法公式求解即可．
3．A
【解析】
【分析】
分两种情况求解：①前三个路口恰有一次红灯，第四个路口为绿灯；②前三个路口都是绿灯，第四个路口为红灯．分别求出概率后再根据互斥事件的概率求解即可．
【详解】
分两种情况求解：
①前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为 ；
②前三个路口都是绿灯，第四个路口为红灯的概率为 ．
由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为 ．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合 , ,则 （）
A． B． C． D．
2．设 为虚数单位,复数 满足 ，则共轭复数 的虚部为（）
A． B． C． D．
3．学生李明上学要经过 个路口,前三个路口遇到红灯的概率均为 ,第四个路口遇到红灯的概率为 ,设在各个路口是否遇到红灯互不影响,则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（）
A． B． C． D．
8．某几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）
A． B．
C． D．
9．已知 ,则 不可能满足的关系是（）
A． B．
C． D．
10．若函数 在区间 内没有最值,则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
11．过抛物线 上两点 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点 ,则直线 的方程为（）
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;
②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为 ,求 的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.
参考数据:
参考公式: ，期中 ，
20．已知椭圆的方程为 ,其离心率 ,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为 ,过椭圆上的点 作 轴的垂线,垂足为 ,点 满足 ,设点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程;
（2）若直线 与曲线 相切,且交椭圆于 两点, ,记 的面积为 , 的面积为 ,求 的最大值.
21．知函数 ， ， 与 在交点 处的切线相互垂直.
(1)求 的解析式；
(2)已知 ,若函数 有两个零点,求 的取值范围.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,圆 经过伸缩变换 后得到曲线 ,相互垂直的直线 过定点 与曲线 相交于 两点, 与曲线 相交于 两点.
19．中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人，这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示:
(1)求曲线 的直角坐标方程；
(2)求 的最小值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
(1)求关于 的不等式 的解集；
(2) ,使得 成立,求实数 的取值范围.
2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试衡水金卷压轴试卷ຫໍສະໝຸດ 数学答案1．D【解析】
【分析】
先解指数不等式得到集合 ，然后再求出 即可．