nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯 形，它们的面积分别记作：
... S1 S2
n
Sn ∴曲边梯形面积 S Si
i 1
（2）近似代替
当 x 0 时，我们可以把小曲边
梯形近似看成什么图形？又如何计 f (i-1)
n
算每个近似图形的面积 Si' ？这
样给我们研究问题带来了哪些帮助？
练一练:
求直线 x 0, x 2, y 0 与曲线 y x2 所围成的
曲边梯形的面积.
小结：
一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
取极限
二.运用的数学思想： 1.以直代曲思想 2.逼近思想
作业： 1.阅读并思考课本P48页 《曲边梯形的面积》 2.书面作业：P50页B.1
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
…
方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积 方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的曲边梯形，我们也可采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积。
y x2
n 等分
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.1
(1)分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分” 分割梯形 分割x轴 分割定义域
即把定义域[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2][i 1, i ][n 1, n ]. n nn n n n n
(i 1, 2,...,n) 每个区间的长度为 x i i 1 1
1.5.1求曲边梯形的面积
连续函数的定义：
y
y
x
x
oa
b oa
b
一般地,如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是 一条连续不断的曲线,那么就把它称为区间I上的 连续函数.
问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？
把由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f (x)
所围成的图形称为曲边梯形.
y f (x)
第i个曲 边梯形
请同学们相互讨论。
i-1 i
nn
Si
Si' =f (i
1)x n
(i
1)2 n
1（用矩形代替曲边梯形） n
(i 1, 2,...,n)
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f( i-1) 1 n (i-1)2 1 i1 n n i1 n n
(i 1, 2,...,n)
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1
n3
6
(1 )(1 ) 3 n 2n
（4）取极限
分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到，
当n
,即 x
0 时，
Sn
1 (1 3
1 )(1 n
对它的面积又如何求呢？
曲边梯形的定义：
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续
曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图
形叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
先研究一个特殊情形：求 y x2 与直线 x 0, x 1, y 0
所围的平面图形的
面积S
y x2
y
10 等分
1) 2n
S,
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
f
(i
1) n
lim
n
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
我们还可 以从数值上 可以看出这 一变化趋势 （请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn