,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
上行
驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
1 n
,
i n
上，可以认为函数 v t t2 2 的值变化很
小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
小曲边梯形，并用小矩阵
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
2
=
1 n3
n
1 n2n
6
1
2
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
从而得到 S 的近似值
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
上看，即使汽车在时间段
i
1 n
,
i n
(i 1, 2 ,
, n) 上的
速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
v
i
1 n
i
1 n
2
2
作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速”，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2）近似代替
Si
f
(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
（4）取极限
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1 6
(n
1)n(2n
1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为1。
3
3
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
Si
Si
v
i
1 n
t
i
1
2
n
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
i
1 n
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
2
=
1 n3
12
22
n
12
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
曲边梯形的面积。 y
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
（1）分割（2）近似代替 （3）求和 （4）取极限
汽车行驶的路程
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时 间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果 已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时 间内经过的路程呢？
问题：汽车以速度 v 组匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果汽车作变速直线运动，
在时刻 t 的速度为 v t t2 2 （单位：km/h），那
么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S （单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代 变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归 为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1] 分成 n 个小 区间，在每个小区间上，由于 v(t) 的变化很小，可以 近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每 个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位： km）的近似值，最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单 位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变 速直线运动的路程）．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
解：1．分割
在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1 等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n 1 n
, 1
记第 i 个区间为
i
1 n
,
i n
(i
1, 2,
, n) ，其长度为 t i i 1 1 nn n
把汽车在时间段
0
,
1 n
，
1 n
求曲边梯形的面积
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P 放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近 的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．