三垂 线定 理的 逆定 理
PA a aAO aPO
【知识梳理】 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
P
M
N
A Q
28
B l D
【典例剖析】 例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面 ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直 角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。 （1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；（ 3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
【点击双基】
6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若 PABC，PBAC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC 的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成 的角为．这两条斜线段在平面内的射影成的角为 (90<180)，那么与的关系是 ( ) (A)< (B)> (C) (D) 8．已知直线l1与平面成30角，直线l2与l1成60角，则 l2与平面所成角的取值范围是 ( ) (A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90]
【点击双基】 1．下列命题中，正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行 (C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线 (D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直 线，则a、b也是相交直线 2．直线a、b在平面内的射影分别为直线a1、b1，下列 命题正确的是 ( ) (A)若a1b1，则ab (B)若ab，则a1b1 (C)若a1b1，则a与b不垂直 (D)若ab，则a1与b1不垂 直
9.3-2直线与平面垂直
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能 运用它解决有关垂直问题
【知识梳理】
1．斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也 较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短． 2．重要公式 如图，已知OB平面于B ，OA是平面的斜线，A为 斜足，直线AC平面，设 OAB=1，又CAB=2， OAC=．那么 cos=cos1cos2．
O
B
A
D

C
【知识梳理】
3．直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线 和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角． ②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直 线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角； 如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面 所成的角是0的角．
【典例剖析】 例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对 棱也互相垂直． 已知：四面体ABCD中，ABCD，ADBC； 求证：ACBD； A
a b B D C
O
C
【典例剖析】 例2．如图，在三棱锥PABC中，ACB=90， ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分 别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所 在平面交于直线l． (1)判断l与MN的位置关系，并进 行证明； (2)求点M到直线l的距离．
【典例剖析】 例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB 平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝ 2BC＝4时，求MN的长。 （1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
P M
C
A N
B
【知识方法总结】 运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜 线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足” ，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的 连线就是斜线在平面上的射影。
【点击双基】 3．直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个 点和不过此点的一条直线，则a与b是 ( ) (A)异面直线 (B)相交直线 (C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线 4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点 的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的 距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内 部，则射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
【知识梳理】 4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称 语言表述 字母表示
PA a aPO aAO
应 用 ①证两直线垂 直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角 同 上
三垂 在平面内的一条 线定 直线,如果和这 理 个平面的一条斜
线的射影垂直, 那么它也和这条 斜线垂直. 在平面内的一条 直线,如果和这 个平面的一条斜 线垂直,那么它 也和这条斜线的 射影垂直.