2013届高三数学章末综合测试题（16）解析几何一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若直线l 与直线y ＝1、x ＝7分别交于点P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )B ．－13C ．－32解析：设P 点坐标为(a,1)，Q 点坐标为(7，b )，则PQ 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋72，1＋b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋72＝1，1＋b 2＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－3，即可得P (－5,1)，Q (7，－3)，故直线l 的斜率为k PQ ＝1＋3－5－7＝－13.答案：B2．若直线x ＋(a －2)y －a ＝0与直线ax ＋y －1＝0互相垂直，则a 的值为( ) A ．2 B ．1或2 C ．1D ．0或1解析：依题意，得(－a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －2＝－1，解得a ＝1.答案：C3．已知圆(x －1)2＋(y －33)2＝r 2(r ＞0)的一条切线y ＝kx ＋3与直线x ＝5的夹角为π6，则半径r 的值为( )或332或 3解析：∵直线y ＝kx ＋3与x ＝5的夹角为π6，∴k ＝±3.由直线和圆相切的条件得r ＝32或332.答案：C4．顶点在原点、焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝x ＋1截得的弦长是10，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－x ，或y 2＝5x B ．y 2＝－x C ．y 2＝x ，或y 2＝－5xD ．y 2＝5x解析：由题意，可知抛物线的焦点在x 轴上时应有两种形式，此时应设为y 2＝mx (m ≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m ＝－1，或m ＝5，从而选项A 正确．答案：A5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，若该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10＝206，故应选B.答案：B6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是( )A ．3B ．5解析：焦点到准线的距离为c －a 2c ＝b 2c ，焦点到渐近线的距离为bca 2＋b 2＝b ，bc ＝23，e ＝ 3.答案：C7．若圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2，故圆的半径为，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案：C8．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点E (m,0)(m ≠0)的直线交抛物线于点M 、N ，交y 轴于点P ，若PM →＝λME →，PN →＝μNE →，则λ＋μ＝( )A ．1B ．－12C ．－1D ．－2解析：设过点E 的直线方程为y ＝k (x －m )．代入抛物线方程，整理可得k 2x 2＋(－2mk 2－2p )x ＋m 2k 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2p ＋2mk 2k 2，x 1x 2＝m 2.由⎩⎪⎨⎪⎧PM →＝λME →，PN →＝μNE →，可得⎩⎨⎧x 1＝λ(m －x 1)，x 2＝μ(m －x 2)，则λ＋μ＝x 1m －x 1＋x 2m －x 2＝x 1(m －x 2)＋x 2(m －x 1)(m －x 1)(m －x 2)＝m (x 1＋x 2)－2x 1x 2m 2＋x 1x 2－m (x 1＋x 2)＝m (x 1＋x 2)－2m 22m 2－m (x 1＋x 2)＝－1.答案：C9．直线MN 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右支分别交于M 、N 点，与双曲线C 的右准线相交于P点，F 为右焦点，若|FM |＝2|FN |，又NP →＝λPM →(λ∈R )，则实数λ的值为( )B ．1C ．2解析：如图所示，分别过点M 、N 作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A . 由双曲线的第二定义，可得==e ， 则==2.∵△MPB ∽△NPA ，∴==，即=. 答案：A10．在平面直角坐标系内，点P 到点A (1,0)，B (a,4)及到直线x ＝－1的距离都相等，如果这样的点P 恰好只有一个，那么a ＝( )A ．1B ．2C ．2或－2D ．1或－1解析：依题意得，一方面，点P 应位于以点A (1,0)为焦点、直线x ＝－1为准线的抛物线y 2＝4x 上；另一方面，点P 应位于线段AB 的中垂线y －2＝－a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋12上． 由于要使这样的点P 是唯一的，因此要求方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，y －2＝－a －14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋12有唯一的实数解．结合选项进行检验即可．当a ＝1时，抛物线y 2＝4x 与线段AB 的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a ＝－1时，线段AB 的中垂线方程是y ＝12x ＋2，易知方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝12x ＋2有唯一实数解．综上所述，a ＝1，或a ＝－1. 答案：D11．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，若点P 在椭圆上，且满足|PO |2＝|PF 1|·|PF 2|(其中O 为坐标原点)，则称点P 为“★点”．下列结论正确的是( )A ．椭圆C 上的所有点都是“★点”B ．椭圆C 上仅有有限个点是“★点” C ．椭圆C 上的所有点都不是“★点”D ．椭圆C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”解析：设椭圆C ：x 24＋y 2＝1上点P 的坐标为(2cos α，sin α)，由|PO |2＝|PF 1|·|PF 2|，可得4cos 2α＋sin 2α＝(2cos α＋3)2＋sin 2α·(2cos α－3)2＋sin 2α，整理可得cos 2α＝12，即可得cos α＝±22，sin α＝±22，由此可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±2，±22，即椭圆C 上有4个点是“★点”． 答案：B12．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，P 为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP 分别交于Q 、R 两点，其中O 为坐标原点，则|OP |2与|OQ |·|OR |的大小关系为( )A ．|OP |2＜|OQ |·|OR |B ．|OP |2＞|OQ |·|OR |C ．|OP |2＝|OQ |·|OR |D ．不确定解析：设P (x 0，y 0)，双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，直线AQ 的方程是y ＝ba (x －a )，直线AR 的方程是y ＝－b a (x －a )，直线OP 的方程是y ＝y 0x 0x ，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫abx 0bx 0－ay 0，aby 0bx 0－ay 0，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫abx 0bx 0＋ay 0，aby 0bx 0＋ay 0. 又x 02a 2－y 02b 2＝1，可得|OP |2＝|OQ |·|OR |. 答案：C第Ⅱ卷 (非选择 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若两直线2x ＋y ＋2＝0与ax ＋4y －2＝0互相垂直，则其交点的坐标为__________． 解析：由已知两直线互相垂直可得a ＝－2，则由⎩⎨⎧2x ＋y ＋2＝0，－x ＋2y －1＝0得两直线的交点坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)14．如果点M 是抛物线y 2＝4x 的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，那么|MA |＋|MF |的最小值为__________．解析：如图所示，过点M 作MB ⊥l 于点B .由抛物线定义，可得|MF |＝|MB |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MB |≥|CB |－1＝4＋1－1＝4.答案：415．若过原点O 且方向向量为(m,1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于P 、Q 两点，则OP →·OQ →＝__________.解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2是引发思路的关键．答案：－316．如果F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为__________．解析：将l ：y ＝x －1代入椭圆C ：x 22＋y 2＝1，可得x 2＋2(x －1)2－2＝0，即3x 2－4x ＝0，解之得x ＝0，或x ＝43.可得A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13.又F 1(－1,0)，则|F 1A |＋|F 1B |＝(－1)2＋12＋⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＝823. 答案：823三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．解析：(1)由b ＝21＋1，得b ＝2，又2a ＝4，a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2， 故两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线L 与椭圆相交的两点M 、N 关于坐标原点对称， 不妨设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )． 点M 、N 、P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程， 即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b2＝1，两式相减，得y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2.由题意它们的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0， k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14.由a ＝2，得b ＝1.故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.18．(12分)已知两点M (－1,0)，N (1,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点A (t,4)是动点P 的轨迹上的一点，K (m,0)是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4的位置关系．解析：(1)设P (x ，y )，则MN →＝(2,0)，NP →＝(x －1，y )， MP →＝(x ＋1，y )． 由|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →， 得2(x －1)2＋y 2＝2(x ＋1)，化简，得y 2＝4x .故动点P 的轨迹方程为y 2＝4x . (2)由点A (t,4)在轨迹y 2＝4x 上， 则42＝4t ，解得t ＝4，即A (4,4)． 当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4， 此时直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离． 当m ≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－m(x －m )， 即4x ＋m (m －4)y －4m ＝0，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2，令d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2＜2，解得m ＜1；令d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2＝2，解得m ＝1；令d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2＞2，解得m ＞1.综上所述，当m ＜1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相交； 当m ＝1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相切； 当m ＞1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离．19．(12分)如图，已知直线L ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，若抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线L 交y 轴于点M ，且MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，当m 变化时，求λ1＋λ2的值． 解析：(1)易知b ＝3，得b 2＝3. 又∵F (1,0)，∴c ＝1，a 2＝b 2＋c 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ＝144(m 2＋1)＞0， 于是1y 1＋1y 2＝2m 3.(*)∵L 与y 轴交于点M ⎝⎛⎭⎫0，－1m ，又由MA →＝λ1AF →， ∴⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋1m ＝λ1(1－x 1，－y 1)， ∴λ1＝1－1my 1.同理λ2＝－1－1my 2. 从而λ1＋λ2＝－2－1m ⎝⎛⎭⎫1y 1＋1y 2＝－2－23＝－83. 即λ1＋λ2＝－83.20．(12分)设G 、M 分别为△ABC 的重心与外心，A (0，－1)，B (0,1)，且GM →＝λAB →(λ∈R )．(1)求点C 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足|AP →|＝|AQ →|，试求k 的取值范围． 解析：(1)设C (x ，y )，则G ⎝⎛⎭⎫x 3，y 3. ∵GM →＝λAB →，(λ∈R )，∴GM ∥AB .∵点M 是三角形的外心，∴M 点在x 轴上，即M ⎝⎛⎭⎫x 3，0. 又∵|MA →|＝|MC →|， ∴⎝⎛⎭⎫x 32＋(0＋1)2＝ ⎝⎛⎭⎫x 3－x 2＋y 2， 整理，得x 23＋y 2＝1，(x ≠0)，即为曲线C 的方程．(2)①当k ＝0时，l 和椭圆C 有不同两交点P 、Q ，根据椭圆对称性有|AP →|＝|AQ →|. ②当k ≠0时，可设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，消去y ，整理，得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0.(*) ∵直线l 和椭圆C 交于不同两点， ∴Δ＝(6km )2－4(1＋3k 2)×(m 2－1)＞0， 即1＋3k 2－m 2＞0.(**)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两相异实根， 于是有x 1＋x 2＝－6km1＋3k 2. 则PQ 的中点N (x 0，y 0)的坐标是 x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2， 即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3km 1＋3k 2，m 1＋3k 2，又∵|AP →|＝|AQ →|，∴AN →⊥PQ →，∴k ·k AN ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1，∴m ＝1＋3k 22.将m ＝1＋3k 22代入(**)式，得1＋3k 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3k 222＞0(k ≠0)， 即k 2＜1，得k ∈(－1,0)∪(0,1)． 综合①②得，k 的取值范围是(－1,1)．21．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，它的一条准线方程为x ＝2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A 、B 为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB 的距离为63，求∠AOB 的大小． 解析：(1)由题意，知c a ＝22，a 2c ＝2，得a ＝2，c ＝1，故a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设直线AB 的方程为x ＝±63，或y ＝kx ＋b . 当直线AB 的方程为x ＝63时，由⎩⎨⎧x ＝63，x22＋y 2＝1，可求A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫63，－63. 从而OA →·OB →＝0，可得∠AOB ＝π2.同理可知当直线AB 的方程为x ＝－63时，和椭圆交得两点A 、B . 可得∠AOB ＝π2.当直线AB 的方程为y ＝kx ＋b . 由原点到直线的距离为63，得b 1＋k 2＝63. 即1＋k 2＝32b 2.又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0.得x 1＋x 2＝－4kb1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2，从而y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b ) ＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－2k 21＋2k 2.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2b 2－21＋2k 2＋b 2－2k 21＋2k 2＝3b 2－2(1＋k 2)1＋2k 2，将1＋k 2＝32b 2代入上式，得OA →·OB →＝0，∠AOB ＝90°.22．(12分)已知动点P 与双曲线x 2－y 23＝1的两焦点F 1、F 2的距离之和为大于4的定值，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为9.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A 、B 是曲线E 上相异两点，点M (0，－2)满足AM →＝λMB →，求实数λ的取值范围． 解析：(1)双曲线x 2－y 23＝1的两焦点F 1(－2,0)、F 2(2,0)．设已知定值为2a ，则|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，因此，动点P 的轨迹E 是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，长轴长为2a 的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵|PF 1→|·|PF 2→|≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，当且仅当|PF 1→|＝|PF 2→|时等号成立， ∴a 2＝9，b 2＝a 2－c 2＝5，∴动点P 的轨迹E 的方程是x 29＋y 25＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝λMB →， 得 且M 、A 、B 三点共线，设直线为l ， ①当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 29＋y 25＝1，得(5＋9k 2)x 2－36kx －9＝0， Δ＝(－36k )2－4(5＋9k 2)(－9)＞0恒成立． 由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝36k 5＋9k 2，x 1x 2＝－95＋9k 2.将x 1＝－λx 2代入，消去x 2得(1－λ)2λ＝144k 25＋9k 2. 当k ＝0时，得λ＝1；当k ≠0时，(1－λ)2λ＝1445k 2＋9，由k 2＞0，得 0＜(1－λ)2λ＜16，得9－45＜λ＜9＋45，且λ≠1. ②当直线l 的斜率不存在时，A 、B 分别为椭圆短轴端点，此时λ＝－2－y 12＋y 2＝9±4 5.综上所述，λ的取值范围是[9－45，9＋45]．。