第4章不定积分内容概要课后习题全解习题411、求下列不定积分:知识点:直接积分法得练习——求不定积分得基本方法。
思路分析:利用不定积分得运算性质与基本积分公式,直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数 ,由积分表中得公式(2)可解。
解:★(2)思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:★(4)思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:★★(5)思路:观察到后,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)思路:注意到,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:注:容易瞧出(5)(6)两题得解题思路就是一致得。
一般地,如果被积函数为一个有理得假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式得形式,再分项积分。
★(7)思路:分项积分。
解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2★(8)思路:分项积分。
解:2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++⎰⎰ ★★(9)思路:？瞧到,直接积分。
解:★★(10)思路:裂项分项积分。
解:222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C xx x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)解:★★(12)思路:初中数学中有同底数幂得乘法: 指数不变,底数相乘。
显然。
解:★★(13)思路:应用三角恒等式“”。
解:★★(14)思路:被积函数 ,积分没困难。
解:★★(15)思路:若被积函数为弦函数得偶次方时,一般地先降幂,再积分。
解:★★(16)思路:应用弦函数得升降幂公式,先升幂再积分。
解:★(17)思路:不难,关键知道“”。
解:★(18)思路:同上题方法,应用“”,分项积分。
解:22222222cos2cos sin11 cos sin cos sin sin cos x x xdx dx dx x x x x x x x-==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰★★(19)思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。
解:★★(20)思路:注意到被积函数,则积分易得。
解:★2、设,求。
知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数得关系。
思路分析:直接利用不定积分得性质1:即可。
解:等式两边对求导数得:★3、设得导函数为,求得原函数全体。
知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数得关系。
思路分析:连续两次求不定积分即可。
解:由题意可知,所以得原函数全体为:。
★4、证明函数与都就是得原函数知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数得关系。
思路分析:只需验证即可。
解:,而★5、一曲线通过点,且在任意点处得切线得斜率都等于该点得横坐标得倒数,求此曲线得方程。
知识点:属于第12章最简单得一阶线性微分方程得初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数得关系。
思路分析:求得曲线方程得一般式,然后将点得坐标带入方程确定具体得方程即可。
解:设曲线方程为,由题意可知:,;又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线得方程为★★6、一物体由静止开始运动,经秒后得速度就是,问:（1） 在秒后物体离开出发点得距离就是多少？ （2） 物体走完米需要多少时间？知识点:属于最简单得一阶线性微分方程得初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数得关系。
思路分析:求得物体得位移方程得一般式,然后将条件带入方程即可。
解:设物体得位移方程为:,则由速度与位移得关系可得:, 又因为物体就是由静止开始运动得,。
(1) 秒后物体离开出发点得距离为:米; (2)令秒。
习题42★1、填空就是下列等式成立。
知识点:练习简单得凑微分。
思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。
解:234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dx d x xdx d x x dx d x =-=--=-2222111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x ===--===+2、求下列不定积分。
知识点:(凑微分)第一换元积分法得练习。
思路分析:审题瞧瞧就是否需要凑微分。
直白得讲,凑微分其实就就是瞧瞧积分表达式中,有没有成块得形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来得功夫来自对微积分基本公式得熟练掌握。
此外第二类换元法中得倒代换法对特定得题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍！★(1)思路:凑微分。
解:★(2)思路:凑微分。
解:★(3)思路:凑微分。
解:★(4)思路:凑微分。
解:1233111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+⎰ ★(5)思路:凑微分。
解:11(sin )sin ()()cos xx xbb b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a-=-=--+⎰⎰⎰★★(6)思路:如果您能瞧到,凑出易解。
解:★(7)思路:凑微分。
解:★★(8)思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
解:(ln ||)(ln |ln |)ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+⎰⎰⎰★★(9)思路:本题关键就是能够瞧到 就是什么,就是什么呢？就就是！这有一定难度！解:tan tan ln |C ==-+⎰⎰★★(10)思路:凑微分。
解:方法一:倍角公式。
2csc 22ln |csc 2cot 2|sin cos sin 2dx dx xd x x x C x x x ===-+⎰⎰⎰方法二:将被积函数凑出得函数与得导数。
22cos 11sec tan ln |tan |sin cos sin cos tan tan dx x dx xdx d x x C x x x x x x ====+⎰⎰⎰⎰方法三: 三角公式,然后凑微分。
22sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin dx x x x x d x d x dx dx dx x x x x x x x x +==+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰★★(11)思路:凑微分:。
解:★(12)思路:凑微分。
解:★★(13)思路:由凑微分易解。
解:1222211(23)(23)66x d x C -=-=---=⎰★★(14)思路:凑微分。
解:22211cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωωω==-⎰⎰⎰★★(15)思路:凑微分。
解:33444444433431313(1)ln |1|.44441111x x dx dx dx d x x C xx x x ===--=--+----⎰⎰⎰⎰ ★(16)思路:凑微分。
解:★★(17)思路:经过两步凑微分即可。
解:9101010111010C ===+★★(18)思路:分项后分别凑微分即可。
解:★★(19)思路:裂项分项后分别凑微分即可。
解:1)1).C==-+=+⎰★(20)思路:分项后分别凑微分即可。
解:22214541114(45)(45)5(45)2545(45)xdx xdx d x x x x x--=-=------⎰⎰⎰（）（）21141141(45)(45)ln|45|.254525252545(45)d x d x x Cx xx=---=-++ ---⎰⎰★(21)思路:分项后分别凑微分即可。
解:222100100100100100(11)(1)(1)1(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dx x dx x xdx x x x x x-+--==++-----⎰⎰⎰★★(22)思路:裂项分项后分别凑微分即可。
解:2 8444444111111()()241(1)(1)1111 xdx xdxxdx dx x x x x x x x==-=---+-+-+⎰⎰⎰⎰2222242222222211111111[()][(1)(1)] 4281111111111ln||arctan.484()11dx d x d xx x x x xxdx x Cx x=--=--+-++-+--=-+++⎰⎰⎰⎰★(23)思路:凑微分。
解:3222cos cos cos cos sin(1sin)sinxdx x xdx xd x x d x=⋅==-⎰⎰⎰⎰★★(24)思路:降幂后分项凑微分。
解:21cos 2()11cos ()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ωϕωϕωϕωϕω+++==+++⎰⎰⎰⎰★★★(25)思路:积化与差后分项凑微分。
解:111sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102x xdx x x dx xd x xdx =-=-⎰⎰⎰⎰★★★(26)思路:积化与差后分项凑微分。
解:111sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424x xdx x x dx xd x xd x =-=-⎰⎰⎰⎰★★★(27)思路:凑微分。
解:3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰★★(28)思路:凑微分。
解:★★(29)思路:凑微分。
解:★★★★(30)思路:==。
解:(arctan ==⎰★★★★(31)思路:被积函数中间变量为,故须在微分中凑出,即被积函数中凑出,22ln tan ln tan ln tan ln tan sec tan cos sin tan tan cos tan x x x xdx dx xdx d x x x x x x x===21ln tan (ln tan )((ln tan ))2xd x d x ==解:2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x dx dx d x xd x x x x x x===⎰⎰⎰⎰★★★★(32)思路: 解:★★★★(33)解:方法一:思路:将被积函数得分子分母同时除以 ,则凑微分易得。