1 Kn kn-1 …
p1,p2,…,pn为质数，
k2 k1 N
1 ＜ kn＜kn-1＜…＜ k2＜ k1＜N
Kn必为质数
定 理 证 明
惟一性 N＝p1 p2…pn-1 pn＝ q1 q2…qm-1 qm
假设n≠m，不妨设n＜m，
p1 p2 … pn-1 pn＝ q1 q2 … qn-1 qn qn＋1 … qm
定 理 推论
360＝3×3×2×2×2×5 360＝3×2×3×2×2×5 ＝ 2 3× 3 2× 5
推论：任何大于1的整数N可以惟一地分解为 N＝(p1)α1 (p2) α2 …(pk) αk 标准分解式
其中，P1 ，p2 ，…， pk是由小到大排列的质因数， α 1，α 2，…，α k是正整数。 注：标准分解式中的质因数排列：从左往右，由小到大
算术基本定理
数的次序，这种分解是惟一的。
对任一大于1的整数N，存在质数
存在性 可分解性
p1，p2 , …, pn，使得N＝ p1p2…… pn
若存在质数q1，q2 , … , qm， 使得N＝ q1q2… qm，则m＝n，
适当调整次序后可使qi＝pi
（i＝1，2，… ，n）
惟一性
定 理 证 明
分 解 质 因 数
例：把12705分解质因数
质因数→ 3
质因数→
12705 5 4235 847
→商为合数 →商为合数
→商为合数 →商为质数
质因数→ 7
质因数→ 11 121 11
12705＝3×5×7×11×11 ＝3×5×7×112
短除法： 用由小到大的质数去试除，直到商为质数。注：来自解质因数，一般要写成标准分解式
练 习 二
判断正误。对的画√，错的画× ，并找出错误的原因。 1、3和5都是质因数
×
× 3、只有合数才能分解质因数 ×
2、1是任何正整数的质因数
4、252的质因数的标准分解式是：252＝2×3×7×3×2
5、一个正整数的质因数都是它的约数 6、一个正整数的约数都是它的质因数 求一个数的约数的方法： 先分解质因数，质因数组合相乘得到约数
存在性
N是合数
N是大于1的整数 定理得证
N是质数
可分解性
定理1 N＝p1k1 (p1为质数，1＜k1＜N）
k1是合数 定理1 k1=p2k2
k1是质数
定理得证
N＝p1p2k2 (p1，p2为质数，1＜ k2＜ k1＜N）
k2是合数 定理1 k2=p3k3
k2是质数
定理得证
N＝p1p2…pn-1pnkn
练 习 一
用短除法把下列数分解质因数
1980
21600
65340389 =997×65537
用计算机把两个100位整数相乘，很快可以完成。而分解这个 相乘所得的200位整数，即使用现在最好的计算机也要几万年。 我方编码，只需做乘法，轻而易举； 对方破译，需要分解质因数，难上加难。 国际上通用的RSA公钥方案就是基于算术 基本定理和分解质因数的一种编码方案。
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
4
6
8
9
10
12
14
15
16
18
复
2 3 5 7 11
习
13
质数（素数）一个大于1的整数，只有1和它本身两个正约数
合数 一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有别的正约数
4 6 8 9 10 12
定理1 大于1的任何整数，至少有一个约数是质数 大于1的任何整数，至少有一个因数是质数
探
尝试：对下列数分解质因数。
36 ＝2×2×3×3 50 ＝2×5×5
究
问题2：大于1的任何整数都可以分解质因数吗？
42 ＝2×3×7 17 ＝17
53 ＝53 规定：把一个质数分解质因数就是用这个
质数本身表示。
任一大于1的整数，都可以分解为质数
的乘积（分解质因数），且如果不计因
欧几里德(古希腊） 公元前3世纪
P1＜p2 ＜ …＜pn-1＜pn n q1＜q2＜…＜qn-1＜qn n ＜…＜qm P1＝q1， p2＝q2 ， ……，pn＝qn
p1 p2…pn-1 pn＝ q1 q2…qn-1 qn qn＋1… qm
1＝ qn＋1… qm
这是不可能的！
qn＋1，…， qm
的结果总是惟一的。
都是质数，
m＝n，不计因数的次序，分解质因数
观察
思考
问题1：大于1的整数，至少有一个因数是质数, 其他的因数也是质数吗？
18 3 6
3 2 3 18 = 3 × 2 × 3 3，2叫18的质因数 分解质因数
概
质因数
念
18 = 3 × 2 × 3 3，2叫18的质因数
相对于大于1的整数，既是这个数的因数，也是质数。
分解质因数
把一个数表示成质因数乘积的形式。
（5）12人一组 (6) 20人一组
(7) 30人一组。七种分法。
小结
两个概念
•质因数
•分解质因数 任一大于1的整数，都可以分解为质数
算术 基本定理
的乘积（分解质因数），且如果不计因
数的次序，这种分解是惟一的。
分解质因 数的基本方法
短除法
作业
P62 第6，7，8题 分析小学数学教材第十册中《分解质因数》的 章节，试设计一节课，向小学生讲述－－分解质因数。
×
√ ×
练 习 三
五年级二班有学生60人，如果将他们平均分成若干小组，
使每组人数都是偶数，共有多少种分组方法？
分析：寻找60的约数 解:把60分解质因数 约数中的偶数 60=2×2×3×5
约数中的偶数 2，4，6，10，12，20，30 （1）2人一组 （2）4人一组 （3）6人一组 （4）10人一组