建平中学高一期中数学试卷
2020.06
一. 填空题
1. 已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为
2. 数列{}n a 是等比数列，112a =，12
q =，132n a =，则n = 3. 已知tan 2θ=−，则cos sin sin cos θθθθ−=+ 4. 三角方程tan()36x π−
=的解集为 5. 1sin 3x =，35[,]22
x ππ∈，则x 用反正弦可以表示为 6. 已知数列{}n a 满足10a =
，1n a +=*n ∈N ），则2020a = 7. 等差数列{}n a 的通项为21n a n =−，令21n n b a −=，则数列{}n b 的前20项之和为
8. 函数22sin cos y x x ωω=−（0ω>）的最小正周期为4π，则ω=
9. 已知12sin 5cos αα+可表示为sin()A αϕ+（0A >，0ϕπ≤<）的形式，则sin 2ϕ=
10. 已知角,(0,)4παβ∈，3sin sin(2)βαβ=+，24tan 1tan 2
2α
α=−，则αβ+=
11. 方程210sin 102x x x π−+=实数解的个数为 12. 设数列{}n a 的通项公式为23n a n =−（*n ∈N ），数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值，则数列{}n b 的前2m 项和为 （结果用m 表示）
二. 选择题
13. 已知α是第二象限角，则2
α是（ ） A. 锐角 B. 第一象限角 C. 第一、三象限角 D. 第二、四象限角
14. 在△ABC 中，tan tan 1A B >，则△ABC 形状是（ ）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 不能确定
15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||2πϕ<
）的图像如图所示，则()f x 的解析
式是（ ）
A. 2()sin(2)3f x x π=+
B. ()sin(2)3
f x x π=+ C. 2()sin(2)3
f x x π=− D. ()sin(2)3f x x π
=−
16. 已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =（ ）
A. 47−
B. 47
C. 1−
D. 1
三. 解答题
17. 已知函数2()2sin cos 2sin 1f x x x x =−+.
（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数2()f x =
，[0,)x π∈，求x .
18. 已知1sin cos 5αα+=−，(0,)απ∈，求下列三角比或三角比式子的值：
（1）sin cos αα；（2）tan
2α；（3）33sin cos αα+.
19. 如图，一智能扫地机器人在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东30°方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少0.4米，于是选择沿A B C →→路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2/m s ，忽略机器人吸入垃圾及在B 处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务.
（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？
（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的
夹角B ∠的正弦值是多少？
20. 设{}n a 是无穷等差数列，公差为d ，前n 项和为n S .
（1）设140a =，638a =，求n S 的最大值；
（2）设90S =，且234518a a a a +++=−，令||n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
21. 已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件：1a a =，21a a ≠，当*n ∈N 且2n ≥时，1()n n a f a −=且11()()()n n n n f a f a k a a −−−=−，其中a 、k 均为非零常数.
（1）若{}n a 是等差数列，求实数k 的值；
（2）令1n n n b a a +=−（*n ∈N ），若11b =，求数列{}n b 的通项公式；
（3）令1n n n b a a +=−（*n ∈N ），若110c b k ==<，数列{}n c 满足112()n n n n c c b b ++−=−， 若数列{}n c 有最大值M ，最小值m ，且
(2,2)M m
∈−，求k 的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. 9
2. 5
3. 3−
4. {|arctan3,}6x x k k ππ=++∈Z
5. 12arcsin
3x π=+ 6. 0 7. 780 8. 14 9.
120169 10. 4π 11. 12 12. 24m m +
二. 选择题
13. C 14. C 15. B 16. A
三. 解答题
17.（1）5[,]88k k π
πππ++，k ∈Z ；（2）724
π，2324π. 18.（1）1225−；（2）3；（3）37125
−.
19.（1）B 、C 两处垃圾的距离是1.4米；（2）14
. 20.（1）当100n =或101时，n S 取得最大值2020；（2）315n a n =−，当5n ≤，
232722n T n n =−+；当5n ≥，23276022
n T n n =−+. 21.（1）1k =；（2）1n n b k −=；（3）1(,0)2
−.。