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2017 年“数学花园探秘”科普活动 小学高年级组决赛试卷 A
（测评时间：2017 年 1 月 1 日 8:00—9:30）
一．填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 40 分）
2.一个边长为 100 厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的
“海螺”，那么这个图形的周长是 厘米（π取 3.14）．
3.在 2016 年里约奥运会女排决赛中，中国队战胜了塞尔维亚队获得冠军．统计 4 局比赛中中国队的得分，发现前 2 局的得分之和比后 2 局的得分之和少 12%，前 3 局的得分之和比后 3 局的得分之和少8%．已知中国队在第 2 局和第 3 局中各得了 25 分，那么中国队在这 4 局中的得分总和为 分．
4.右面三个算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数
字；那 么四位数“ 李白杜甫 ”＝ ．
5. n 个数排成一列，其中任意连续三个数之和都小于30，任意连续四个数之和都大于 40，则n 的最大值为 ．
二．填空题Ⅱ（每小题 10 分，共 50 分）
6.算式
的计算结果是 ．
7.有一个四位数，它和 6 的积是一个完全立方数，它和 6 的商是一个完全平方数；那么这个四位数是 ．
8.在空格里填入数字 1～6，使得每行、每列和每个 2×
3的宫（粗线框）内数字不重复．若虚线框
A,B,C,D,E,F 中各自数字和依次 分别为 a ,b ,c ,d ,e ,f ，且 a ＝b ，c ＝
d ，
e ＞
f ．那么第四行的前五个数 字从左到右依次组成
的五位数是．
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20 C P 17
9. 抢红包是微信群里一种有趣的活动，发红包的人可以发总计一定金额的几个红包，群里相应
数量的 成员可以抢到这些红包，并且金额是随机分配的．一天陈老师发了总计 50 元的 5 个红包，被孙、成、饶、赵、乔五个老师抢到．陈老师发现抢到红包的 5 个人抢到的金额都不一样，都是整数元的，而且还恰好都是偶数．孙老师说：“我抢到的金额是 10 的倍
数．” 成老师说：“我和赵老师抢到的加起来等于孙老师的一半．” 饶老师说：“乔老师抢到的比除了孙老师以外其他所有老师抢到的总和还多．” 赵老师说：“其他所有老师抢到的
金额都是我的倍数．” 乔老师说：“饶老师抢到的是我抢到的 3 倍．” 已知这些老师里只有一个老师没说实话，那么这个没说实话的老师抢到了 元的红包．
D
10. 如图，P 为四边形 ABCD 内部的点，AB :BC :DA =3:1:2，∠DAB =∠ CBA =60°．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形
PAD 和 三角形 PBC 的面积分别为 20 和 17，那么四边形
ABCD 的面积最 大是 ．
三．填空题Ⅲ（每小题 12 分，共 60 分）
A B
11. 有一列正整数，其中第 1 个数是 1，第 2 个数是 1、2 的最小公倍数，第 3 个数是 1、2、3 的最小 公倍数，……，第 n 个数是 1、2、……、n 的最小公倍数．那么这列数的前 100个数中共_______个不同的值．
12. 如图，有一个固定好的正方体框架，
A 、
B 两点各有一只电子跳蚤同时开 A 始跳
动．已知电子跳蚤速度相同，且每歩只能
沿棱跳到相邻的顶点，两 只电子跳蚤各跳
了 3 歩，途中从未相遇的跳法共有 种．
13. 甲以每分钟 60 米的速度从 A 地出发去 B 地，与此同时乙从 B 地出
发匀速 去 A 地；过了 9 分钟，丙从 A 地出发骑车去 B 地，在途中 C 地
追上了甲甲、乙相遇时，丙恰好到 B 地；丙到 B 地后立即调头，且速
度下降为原来速度的一半；当丙在 C 地追上乙时，甲恰好到 B 地．那么
AB 两地间的路程为 米．
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14. 在一个 8×8 的方格棋盘中放有 36
随后的空格棋子，则不 能进行操作．那么最后在棋盘上 最少剩下 枚棋子． 15. 你认为本试卷中一道最佳试题是第 题（答题范围为 01～14）； 你认为本试卷整体的难度级别是 （最简单为“1”，最难为“9”，答题范围为 1～9）； 你认为本试卷中一道最难试题是第 题；（答题范围为 01～14）．
（所有答题范围内的作答均可得分，所有的评定都将视为本人对本试卷的有效评定，不作答或者超 出作答范围不得分．）
2017数学花园探秘科普活动小高决赛A解析
1.答案：64 解析：原式=（632-
1
63
）+(1-
1
63
)=63+1=64
2.答案：2384 解析：500+1
5
×2×π×（100+200+300+400+500）=2384
3.答案：94 解析：注意到前三局比前两局多25分，后三局比后两局多25分，所以中国队得
分总和为25+（
1
8%
-
1
12%
）÷12%×（1+1-12%）=94分。

4.答案：9285 解析：首先，比较两个式子，由白与诗不同可推知甫=5；其次，李白 +杜甫
≤97+86=183，所以，背=1，诗不超过7；再次由第三个式子知李-杜=1，白不超过2，诗不小于6.注意到白与背不同，所以，白=2，诗=7. 李白 +杜甫 =177，李白 -杜甫 =7，所以
李白 =92，杜甫 =85
5.答案：5 解析：注意到连续三个数之和小于30，任意连续四个数之和大于40.所以若n≥6，则第四、五、六个数均大于10，推知矛盾。

而12，12，5，12，12满足要求，所以n的最大
值为5.
6.答案：7776 解析：注意到这个数和6的积也是一个完全平方数，所以一定是一个六次方数，所以这个四位数是66的倍数。

注意到65=7776，所以这个四位数是7776
7.答案：32 解析：
8.答案：31462
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9.答案：16 解析：注意到饶老师和乔老师的话是矛盾的，所以其余三位老师的话都是诚实的，推知孙老师抢得20元，成老师抢得8元，找老师抢得2元。

如果乔老师是诚实的，那么乔老师抢到5元，不是偶数。

故乔老师没说实话，所以乔老师抢得至少16元。

注意到5个人抢得的金额都不一样，所以乔老师抢得16元。

10.答案：36 解析：注意到只有n的质因数仅一种时，第n个数才会大于第n-1个数，其他
情况下低n个数和第n-1个数相同。

1到100中有质数25个，质数的二次方4个，质数的三次
方2个，质数的四次方2个，质数的五次方、六次方各1个，所以这列正整数中共有
1+25+4+2+2+1+1=36个不同的值。

11.答案：1620 解析：线段图见右：注意到从丙追上甲到甲乙相遇，丙走CB，甲走CD；
从甲乙相遇到丙追上乙，丙伴宿走BC，甲走DB，乙走CD。

所以BD=2CD,乙的速度为每分钟60
÷2=30米，甲走CB时，丙走了CB并半速走BC，所以丙的速度为每分钟60×3=180米。

所以AB两地路程为（60+30）×9÷（180-60-30）×180=1620米
12.答案：2
解析：注意到如下操作：
所以每次可以将一个“L”形的四个棋子中去掉3个，另一个回到原格。

所以将36枚棋子按图中的分组依次去掉，最后剩下右下的1×3的棋子，再操作一次即可剩下2枚。

下面证明最少剩下2枚棋子
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如下图对期盼进行三染色，则每次操作时，有两种颜色格内的棋子数减1，第三种颜色格内的棋子数加1，而开始时三种颜色格内的棋子数均相等，所以每次操作后三种颜色格内的棋子数奇偶性相同，而最后棋子不可能一枚不剩，所以最少剩下2枚棋子。

13.答案：147 解析：延长AD,BC 交于点Q ，连接PQ ，∠DAB=∠CBA=60°，所以三角形ABQ 为正三角形。

由于AB:BC:DA=3：1：2，所以PCQD 的面积为20÷2+17×2=44.而三角形QCD 面积占
QAB 面积13 ×23 =29 ,ABCD 面积是QCD 面积的（1-29 ）÷29 =72
倍。

注意到ABCD 中各三角形面积均为整数，所以QAB 面积为9的倍数。

QCD 面积是2的倍数，所以QCD 面积最大为42，ABCD 面积最大为42×72
=147
14.答案：343 解析：注意到每次跳跃后，两只电子跳蚤仍然是在正方体某一面的面对角线的两个端点处。

而每次跳跃时，两只跳蚤有3×3-2=7种跳法互不相遇，所以三次跳跃从未相遇的跳法有7×7×7=343种。