任晟１ ， 张家忠１ ， 康伟１ ， 屈云海２
（ 西安交通大学能源与动力工程学院 ， 昆明钢铁集团动力能源分公司 ， １． ７ １ ０ ０ ４ ９，西安 ； ２． ６ ５ ０ ３ ０ ２，云南安宁 ）
摘要 ： 从动力学观点分析了水中球形微气泡无外部激励时平衡态的稳定性及受到声波激励时受迫 振荡的复杂动力学行为 ； 分析了无声波激励时平衡态的稳定性和奇点类型 ， 并对其相应的物理现象 进行了解释 ； 对于受到声波激 励 的 微 气 泡 受 迫 振 荡 ， 结合 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ é映 射 法 确 定 了 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ é映 射 的 并根据 Ｆ 分 析 表 明： 无声波激励时水中球形微 不动点 ， ｌ ｏ ｕ ｅ ｔ理论分析了周 期 解 的 稳 定 性 及 分 岔 ． ｑ 气泡的平衡态是一稳定焦点 ， 而受到声波激励时 ， 随着激励频 率 的 升 高 ， 微气泡的周期振荡从失稳 进而转变成准周期运动 ， 最终进入混沌状态 ； 随着压力脉动幅值的增加 ， 微气泡 转变为倍周期运动 ， 的振荡经过一系列倍周期分岔通向混沌 ． 研究结果揭示了水中球形微气泡的复杂动力学特性 ， 为进 一步控制奠定了基础 ． 关键词 ： 微气泡 ； 稳定性 ； 分岔 ； Ｆ ｌ ｏ ｕ ｅ ｔ理论 ； Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ é映射 ｑ ） 中图分类号 ：Ｏ ３ ２ ２ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ： ０ ２ ５ ３ － ９ ８ ７ Ｘ（ ２ ０ １ １ １ １ － ０ ０ ２ ７ － ０ ７
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西 安 交 通 大 学 学 报 第 ４ ５卷
泡的谐振频率落在声纳和声自导鱼雷的主要工作频 段， 由此干扰声纳 和 鱼 雷 跟 踪 ， 使 潜 艇 得 以 隐 蔽． 于 分析声波作用下 微 气 泡 的 演 化 是 研 究 如 何 提 高 是， 气幕弹性能的前提 ， 气泡动力学特性的研究则成为 特定声空化问题的重要基础 ． 对于 水 中 气 泡 在 声 场 中 的 演 化 ， 研究者通过大 也为此进行了相关 量的实验观察逐渐 加 深 了 认 识 ， 理论研究 ． Ｌ ａ ｕ ｔ ｅ ｒ ｂ ｏ ｒ ｎ等
， ， 收稿日期 ： 男， 博士生 ； 张家忠 （ 联系人） 男， 教授， 博士生导师． ２ ０ １ １ － ０ ５ － １ ６． 作者简介 ：任晟 （ １ ９ ８ ２－ ） 基 金 项 目 ：教 育 部 ） 新世纪优秀人才支持计划资助项目 （ Ｎ Ｃ Ｅ Ｔ － ０ ７ － ０ ６ ８ ５ ． 网络出版时间 ： ２ ０ １ １ － ０ ８ － １ ０ ： ／ ／ ／ 网络出版地址 ： ｈ ｔ ｔ ∥ｗｗｗ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ｋ ｃ ｍ ｓ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ６ １． １ ０ ６ ９． Ｔ． ２ ０ １ １ ０ ８ １ ０． ０ １ ３ ０． ０ ０ ６． ｈ ｔ ｍ ｌ ｐ ： ｔ ｔ ｄ ｘ ｂ ． ｃ ｎ ｈ ∥ｗｗｗ． ｐ ｊ
Ｄ ｎ ａ ｍ ｉ ｃ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｓ ｈ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍ ｉ ｃ ｒ ｏ Ｂ ｕ ｂ ｂ ｌ ｅ － ｙ ｐ ｉ ｎ Ｗ ａ ｔ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ Ｉ ｔ ｓ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ
１ １ １ ２ Ｒ Ｅ Ｎ Ｓ ｈ ｅ ｎ ＨＡＮＧ Ｊ ｉ ａ ｚ ｈ ｏ ｎ Ｗ ｅ ｉ ，ＱＵ Ｙ ｕ ｎ ｈ ａ ｉ ｇ ，Ｚ ｇ ，ＫＡＮＧ
第４ ５卷 第１ １期 ２ ０ １ １年１ １月
西 安 交 通 大 学 学 报 Ｊ ＯＵＲＮＡ Ｌ Ｏ Ｆ Ｘ Ｉ ′ ＡＮ Ｊ Ｉ ＡＯ Ｔ ＯＮＧ ＵＮ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ｏ ｌ ． ４ ５ Ｎ ｏ ． １ １ Ｎ ｏ ｖ ． ２ ０ １ １
水中球形微气泡演化的动力学行为分析与控制
１ ４］ ， 判断周期解的稳定性及分岔特 性 ［ 从而揭示水中
球形微气泡周期性振荡蕴含的丰富动力学行为 ．
采用压电材料制成的空
利用高速摄影观察了 心圆筒在水中振动 产 生 气 泡 ， 单个气泡在声场中 的 非 线 性 振 荡 ， 并将理论计算与 实验结果进行 了 对 比 ， 结 果 是 二 者 吻 合 较 好． Ｌ ａ ｕ ｔ － ｅ ｒ ｂ ｏ ｒ ｎ等
［ ２］
１ 气泡动力学模型方程及其变换
［１］ 由Ｐ 改进的 Ｋ ａ ｒ ｌ ｉ ｔ ｚ等 １ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ －Ｍ ｉ ｋ ｓ ｉ ｓ气泡动力
：Ｔ Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｅ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｏ ｆ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗ ｉ ｔ ｈ ｏ ｕ ｔ ｅ ｘ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｅ ｘ ｃ ｉ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｙ ｑ ｃ ｏ ｍ ｌ ｅ ｘ ｄ ｎ ａ ｍ ｉ ｃ ｓ ｏ ｆ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｄ ｏ ｓ ｃ ｉ ｌ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｕ ｅ ｔ ｏ ｓ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｅ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ａ ｓ ｈ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｍ ｉ － ｒ ｏ ａ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｙ ｐ ｐ ｐ ｇ ， ｃ ｒ ｏ － ｂ ｕ ｂ ｂ ｌ ｅ ｉ ｎ ｗ ａ ｔ ｅ ｒ ． Ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｅ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｏ ｆ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗ ｉ ｔ ｈ ｏ ｕ ｔ ｓ ｏ ｕ ｎ ｄ ｗ ａ ｖ ｅ ｙ ｑ ， ｒ ｏ ａ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗ ａ ｓ ａ ｎ ａ ｌ ｚ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｔ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｉ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｏ ｉ ｎ ｔ ｗ ａ ｓ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ｉ ｎ ｅ ｄ ． Ｓ ｅ ｃ － ｐ ｐ ｇ ｙ ｐ ｇ ｙ ｐ ｇ ｐ ， ｏ ｎ ｄｔ ｈ ｅ ｓ ｈ ｏ ｏ ｔ ｉ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗ ａ ｓ ｃ ｏ ｍ ｂ ｉ ｎ ｅ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ éｍ ａ ｔ ｏ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｆ ｉ ｘ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｏ ｉ ｎ ｔ ｇ ｐ ｐ ， ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｄ ｏ ｓ ｃ ｉ ｌ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｕ ｅ ｔ ｏ ｓ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｘ ｃ ｉ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｔ ｈ ｉ ｒ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ａ ｎ ｄ ｂ ｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗ ｅ ｒ ｅ ｅ ｘ ａ ｍ ｉ ｎ ｅ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｙ ， ｔ ｈ ｅ Ｆ ｌ ｏ ｕ ｅ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｆ ｒ ｏ ｍ ｖ ｉ ｅ ｗ ｏ ｉ ｎ ｔ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｎ ａ ｍ ｉ ｃ ｓｔ ｈ ｅ ｅ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ ｑ ｙ ｐ ｙ ｑ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｉ ｓ ａ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｆ ｏ ｃ ｕ ｓ ｆ ｏ ｒ ａ ｓ ｈ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｍ ｉ ｃ ｒ ｏ － ｂ ｕ ｂ ｂ ｌ ｅ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｗ ａ ｔ ｅ ｒ ｗ ｉ ｔ ｈ ｏ ｕ ｔ ｅ ｘ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ ｅ ｘ ｃ ｉ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ． ｐ ， ， Ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｉ ｎ ｓ ｏ ｕ ｎ ｄ ｆ ｒ ｅ ｕ ｅ ｎ ｃ ｈ ｅ １ －ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｏ ｓ ｃ ｉ ｌ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ｅ ｃ ｏ ｍ ｅ ｓ ｕ ｎ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｅａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｏ ｓ ｃ ｉ ｌ ｌ ａ － ｑ ｙｔ ， ， ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ｅ ｈ ａ ｖ ｅ ｓ ｉ ｎ ａ ｄ ｏ ｕ ｂ ｌ ｅ －ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ｍ ａ ｎ ｎ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ｎ ｉ ｎ ａ ｕ ａ ｓ ｉ －ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ｍ ａ ｎ ｎ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ． ｑ ｙ ｙ ， ， Ａ ｄ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｌ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ａ ｍ ｌ ｉ ｔ ｕ ｄ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｆ ｌ ｕ ｃ ｔ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｔ ｈ ｅ ｍ ｉ ｃ ｒ ｏ － ｂ ｕ ｂ ｂ ｌ ｅ ｅ － ｒ ｅ ｓ ｓ ｕ ｒ ｅ ｙ ｗ ｐ ｐ ｖ ｅ ｎ ｔ ｕ ａ ｌ ｌ ｏ ｓ ｃ ｉ ｌ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｖ ｉ ａ ａ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ － ｄ ｏ ｕ ｂ ｌ ｉ ｎ ｂ ｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ． ｙ ｙ ｐ ｇ ：ｍ ； ； ； ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｉ ｃ ｒ ｏ － ｂ ｕ ｂ ｂ ｌ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｂ ｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｆ ｌ ｏ ｕ ｅ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ éｍ ａ ｙ ｙ ｑ ｙ ｐ 气幕弹是舰艇及潜艇中常用的一种软杀伤水声 对抗装备 ， 目前常采 用 化 学 或 其 他 方 法 在 海 水 中 产 生大量 的 体 积 大 小 不 等 的 气 泡 ， 以形成大片气泡 “ 幕” 来反射和吸收 敌 方 发 射 的 声 波 ， 其中大量微气
［ １］
首先分析了水 Ｋ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ ｉ ｋ பைடு நூலகம் ｉ ｓ气 泡 动 力 学 模 型 方 程 ， －Ｍ 中无声波传播时球形微气泡演化平衡态的稳定性与 奇点类型 ， 然后结 合 改 进 的 打 靶 法 和 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ é映 射 法， 确定水中球形微 气 泡 在 声 波 激 励 下 振 荡 的 周 期 并利用 Ｆ 解及 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ é映 射 的 不 动 点 ， ｌ ｏ ｕ ｅ ｔ乘 子 ｑ