教材习题解答第一章 集合及其运算习题8P 3. 写出方程的根所构成的集合。

2210x x ++=解：的根为，故所求集合为2210x x ++=1x =-{1}-4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，；b)对每个集A ，；A φ∈A φ⊆c)对每个集A ，；d)对每个集A ，；{}A A ∈A A ∈e)对每个集A ，；f)对每个集A ，；A A ⊆{}A A ⊆g)对每个集A ，；h)对每个集A ，；2A A ∈2A A ⊆i)对每个集A ，；j)对每个集A ，；{}2A A ⊆{}2A A ∈k)对每个集A ，；l)对每个集A ，；2A φ∈2A φ⊆m)对每个集A ，；n)；{}A A ={}φφ=o)中没有任何元素；p)若，则{}φA B ⊆22A B⊆q)对任何集A ，；r)对任何集A ，；{|}A x x A =∈{|}{|}x x A y y A ∈=∈s)对任何集A ，；t)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈；{|}{|}x x A A A A ∈≠∈答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真5.设有n 个集合且，试证：12,,,n A A A 121n A A A A ⊆⊆⊆⊆ 12nA A A === 证明：由，可得且，故。

1241n A A A A A ⊆⊆⊆⊆⊆ 12A A ⊆21A A ⊆12A A =同理可得：134nA A A A ==== 因此123nA A A A ====1．设A,B,C 为集合，并且，则下列断言哪个成立？A B A C = (1)；(2)；(3)；(4)。

B C =A B A C = C C A B A C = C C A B A C = 答案：d 。

在两边同时并上A 即得。

C C A B A C = A B A C = 2．设A,B,C 为任意集合，化简()()()()()()()C C C C C C C C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C证：证1：原式＝()()()()C C C C B C A B B C A B C ()()()()()(())C C C C C C B A B A B C A B A B C A B A B C A B C==== 证2：令原式＝T ，全集为S ，则且，()C C C S T A B C = ()C C C T A B C φ= 故 。

()C C C C T A B C A B C == 3．证明：（1）；（2）；()()C C A B A B A B ∆= ()()()C C C A B A B A B ∆= （3）()()()C C C A B A B A B ∆= 证：（1）()()(())(())C C C C A B A B A B A A B B = ()()C C B A A B = (\)(\)()A B B A A B ==∆ （2）证： 〔根据（1）〕()C A B ∆(()())C C C A B A B = ()()()()C C C C C C A B A B A B A B == （3）证：()()C C A B A B = (())(())C C C A B A A B B 〔根据（2）〕()()C C A B A B = ()C A B =∆4．设和是集合S 的子集的两个序列，对，有12,,M M 12,,N N ,,1,2,i j i j ≠= 。

令。

试证：i j N N φ= 1111,(),2,3,n C n n k k Q M Q M M n -==== 。

1()nn n i i i N Q N M =∆⊆∆反证法：假设题中结论不成立，则。

,,1,2,3,,1i i n m i mn +≤≤=+ 令，，则是单射。

:{1,2,,}{1,2,,},i A n m u A ϕ→⨯∀∈ ()(,)i i i u ϕ+-= ϕ实际上，且，则,i j u u A ∀∈()i j u u i j ≠＜若，则，所以；i j u u ＞i j -- ＞(,)(,)i i j j +-+-≠ 即。

()i u ϕϕ≠()j u 若，则，所以；i j u u ＜i j ++ ＞(,)(,)i i j j +-+-≠ 即。

()()i j u u ϕϕ≠故为单射，从而就有矛盾。

ϕ1mn mn +≤习题43P 1. 证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。

证：(1) 将边长为1的等边三角形4等分，得到4个边长为1/2的小等边三角形。

任给5个点，由鸽巢原理可知必有一个小等边三角形里面至少有2个点，又因为小等边三角形中任意两个点之间的距离至多为1/2，因此5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2。

(2) 连接各边的三等分点，则可得到9个边长都为1/3的小等边小角形，每个小等边三角形中任意两个点之间的距离至多为1/3。

将10个点放入该大等边三角形中，则由鸽洞原理，必有一个小等边三角形中至少有2个点，因此任意10个点中必有2个点其距离至多为1/3。

2.已知个整数，试证：存在两个整数，使得m 12,,m a a a ,,0k k m ≤≤ ＜能被整除。

12k k a a a +++++ m 证：考察下式：11212312m a a a a a a a a a ++++++若第式能被整除，则显然成立，此时；i m 0,k i == 若任一式都不能被整除，则考察各式被整除后的余数，如下式：m m 11112221233312m m m a q m r a a q m r a a a q m r a a a q m r =++=+++=++++=+由于每一个都不能被整除，故共有个余数—相当于个物体。

而任意m m m 整数被除后，只有－1个余数——相当于－1抽屉，于是由鸽巢原理可知m m m 必有两个余数相等。

设这两个余数为，对应两式相减便有：,,()i j r r i j i j ≠＜可被整除，此时。

12i i j a a a +++++ m ,k i j == 3. 证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。

证：设是52个整数，令为被100除后所得的余数，即1252,,,a a a i γi a [相当于52个物体]。

100,099,1,2,,52i i i i a q i γγ=+≤≤= 任意一个整数被100除以后的余数为0，1，2，…，99，把它们分成51个类，即{0},{1,99},{2,98},…{49,51},{50}[相当于51个盒子]。

把52个余数放入到51个类中，必在两个余数放在一个类里。

,1,2,,52i i γ= 设在一个类中的两个余数分别为与，。

则有i γj γi j ≠（1）若，则，即能被100整除。

i j γγ≠0i j γγ+=i j a a +（2），则，即能被100整除。

i j γγ=0i j γγ-=i j a a -5.设为的任一排列，若n 是奇数且12,,,n a a a 1,2,3,,n ，12(1)(2)()0n a a a n ---≠ 则乘积为偶数。

解：反证法：若为奇数，则中的与必是一12(1)(2)()n a a a n --- ()i a i -i a i5.任一偶置换均可被分解成3－循环置换（123），（124）…（12n ）中若干之乘积。

证：,,,{1,2,,}, ,i j s t n i j s t∀∈≠≠ ()()(1)(1)(1)(2)(2)(2)ij st i j i s t s =(1)(1)(2)(1)(2)(2)i j s j t s =(1)(2)(1)(2)(1)(2)i s j t i s =(12)(12)(12)(12)s i t j =(1 2 )(1 2 )s i 因为1212(12)(12)2121s i s i s i ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12(1)(2)21s i i s i s ⎛⎫== ⎪⎝⎭1212(12)(12)2121t j t j t j ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12(1)(2)21t j j t j t ⎛⎫==⎪⎝⎭因此本题得证。

6. 证明下列置换等式（1）1111()()()()h k h k ac c bd d ab ac c bd d = 证：1211112312()()()h k h k a c c c b d d ac c bd d ab ab c c c b d d a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ＝12112312h k a c c c b d d c c c a d d b ⎛⎫ ⎪⎝⎭11()()h k ac c bd d = （2）11()()()h k ac c bd d ab 111212()h k a c c b d d ab c c a d d b ⎛⎫= ⎪⎝⎭11111212()h k h k a c c b d d ac c bd d c c b d d a ⎛⎫== ⎪⎝⎭8.在所有的n 次置换中，有多少个n —循环置换？解：1212231(,,,)n n i i i i i i i i i ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 对，有n 种选择1i 对，有（n-1）种选择2i ……对有1种选择n i第三章 关 系习题86P 1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？解：设R 是X 上的一个二元关系且即可。

(,,),X a b c ={(,),(,)}R a a a b =2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的二元关系？解：存在。

设，R 是X 上的二元关系。

{,,}X a b c ={(,),(,),(,),(,)}R a a a c a b c a =3.设R ，S 是X 上的二元关系，下列命题哪些成立：a )若R 与S 是自反的，则分别也是自反的。

,R S R Sb ) 若R 与S 是对称的，则分别对称的,R S R Sc ) 若R 与S 是传递的，则也是传递的R Sd ) 若R 与S 不是自反的，则也不是自反的R Se ) 若R 与S 是反自反的，则也是反自反的,R S R Sf ) 若R 是自反的，则也是反自反的。

c R g ) 若R 与S 是传递的，则R\S 是传递的答案：真真真假真真假4.实数集合上的“小于”关系是否市反自反的？集合X 的幂集上的“真包含”<关系是否是反自反的？为什么？⊂证：实数集合上的“小于”关系是反自反的；<集合X 的幂集上的“真包含”关系也是反自反的。