R(t ) R(t t ) R(t ) [ R( k, ) I ]R(t ) ( k, ) R(t )
（3.10）
（3.11）
式中
I
—— 3×3阶单位矩阵；
( k, ) —— 微分旋转算子，其表达式为
0 k z k y ( k , ) k z 0 k x k y k x 0
Q AQB O ARB BQ
对式（3.7）两边求其导数，得到点 Q 相对于{ A} 和 {B} 的运动速度
A
Q
，BQ 式中
之间的关系式：
A
Q AQBO ARB BQ ARB BQ
（3.8）
A
QBO
—— 坐标系{B}的原点相对于坐标系{ A} 的运动速度；
A
RB —— 旋转矩阵的导数。
3.1 牛顿-欧拉方程
牛顿欧拉方程的定义：以牛顿方程和欧拉方程为出发点，结合机 器人的速度和加速度分析而得出的一种机器人动力学算法。
建立机器人牛顿-欧拉动力学数学模型的思路：首先已知机器人 各连杆的速度、角速度及转动惯量，利用牛顿-欧拉刚体动力学 公式导出机器人各关节执行器的驱动力及驱动力矩的递推公式， 然后再由它归纳出机器人动力学的数学模型—— 机器人机械系 统的矩阵形式的运动方程。
质量分布中心，记为坐标系 {C } 。若已知以坐标系 {C }为参考系的
{C } 坐标系原点 惯性张量（可用计算方法或实验方法确定）和 { A} 的位置矢量 [ x y z ]T ，则可利用平行 （质心）相对于坐标系 C C C
{ A} 为参考系的惯性张量，即有 轴原理决定以坐标系
A
A C 2 2 I zz C I zz m( xC yC ) ， I xy I xy mxC yC
第三章
工业机器人的动力学基础
3.1Байду номын сангаас牛顿-欧拉方程
3.2 拉格朗日方程 3.3 小结
工业机器人的动力学主要研究问题：研究机器人各关节的关节位 置、关节速度、关节加速度与各关节执行器驱动力矩之间的关系。 机器人的动力学研究的两个问题：一是已知所有的关节变量，用 正运动学来确定机器人末端手的位姿，称之为动力学正问题；二 是如果要使机器人末端手放在特定的点上并且具有特定的姿态， 可用逆运动学来计算出每一关节变量的值，这是动力学逆问题。 研究动力学的重要目的之一是为了对机器人的运动进行有效控制， 并介绍常用的 本书主要介绍逆动力学问题 以实现预期的轨迹运动， 牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程。
（3.12）
对上式两端除以t ，并取极限，定义为角速度算子矩阵S ( )
0 kz k y 0 z y S(ω) kz 0 k x z 0 x k y kx 0 y x 0
F maC
M C Iε C Iω
（3.1）
（3.2）
C 式中， F、aC 、M、 、 均为三维矢量； I 为刚体相对于
原点通过质心C并与刚体固结的刚体坐标系的惯性张量。
刚体惯性张量的定义及求解：
若刚体的体坐标系为 { A} ，则该刚体的惯性张量定义为
A I xx A I A I xy A I xz
（3.6）
式中 m—— 刚体的质量。 同理可得其他惯性张量的计算方程式。
刚体的惯性张量还有以下几条常用的性质：
（1）对于有对称面的刚体，带有与对称面垂直的轴的下标 的惯性积为零； （2）惯性矩总是为正，而惯性积可以为正，也可以为负； （3）只改变体坐标系的方向时，三个惯性矩的总和不变； （4）惯性张量矩阵的特征值是刚体的惯性主矩，特征矢量 的方向就是惯性主轴的方向。
3.1.2 连杆的速度与加速度分析
1. 连杆的速度与加速度分析
B
{B} 内任一运动点 Q 的位置矢量为 Q ，连杆坐标系 设在连杆坐标系 {B} 相对于其参考坐标系 { A} 的位置矢量为 Q ，旋转矩阵为A RB
A BO
，则点
Q
在两坐标系中的位置矢量
A
A
Q
和 BQ 之间的关系满足公式 （3.7）
3.1.1 牛顿-欧拉动力学方程
对于构成机器人的连杆（机械臂），可以将其当做运动的刚体 来考虑。设一个刚体质量为m，质心在C点，在C点固定连接一 坐标系 { A} 在外力F及外力矩M的作用下使刚体产生质心线加速度 aC 和角加速度 的运动， 则力与线加速度或力矩与角加速度之 间分别满足牛顿公式（3.1）及欧拉公式（3.2）：
（3.4）
其他元素是质量的惯性积，定义为
A
I xy xy dv
V
，
A
I xz

V
xz dv
，
A
I yz

V
yz dv
（3.5）
为常数； 式（3.4）和（3.5）中， 为材料的密度，当质量均布时， dv 为体积的微元，其位置矢量为 rA ，用坐标系 { A} 描述即为
旋转矩阵 R 与角速度矢量 之间关系的推导：
R(t ) lim
R(t t )
R(t t ) R(t ) R(t ) lim t 0 t 0 t t
R(t )
（3.9）
可以看成
在时间间隔 t 内绕某轴 k 转动微分角度
而得到，可表示为
R(t t ) R( k , ) R(t )
rA [x y z]T
惯性张量是—个实对称矩阵，适当地安排坐标系的位置和方向， 可使惯性积为零，惯性张量矩阵变成对角型。使惯性积为零的各 轴称为惯性主轴，相应的惯性矩称为主惯性矩。
用平行定理求惯性章量：质心坐标系与连杆坐标系平行的情况， 这时连杆相对两平行坐标系的惯性矩和惯性积符合平行轴定理。 假设坐标系 { A} 固定在刚体的某个点上，现将此坐标系 平移到刚体的
A A A
I xy I yy I yz
I xz A I yz A I zz
A
（3.3）
矩阵中各元素分别是： 主对角线上的元素是质量的惯性矩，定义为
A
I xx ( y z ) dv
2 2 V A V
，
A
I yy ( x 2 z 2 ) dv
V
I zz ( x 2 y 2 ) dv