所求映射为w 2z 1. 2 z
24
例3 求一个分式线性映射w f (z)它将圆z 2 1 映成圆 w 2i 2 ，且满足条件
f (2) i,arg f (2) 0.
解
令z 2 ,
w
2
2i

w1 ,
w1 g( ),
1 w1 g( ) w1 1,
u2 v2 e2C2 ,v utanC1. 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，
故命题得证.
[证毕]
30
例6 试将如图所示的区域映射到上半平面.
解
取分式线性映射w1

z z

i i
,
将切点i映射为w1 ,并将
z i映射为w1 0.
y i
•
O
1x
由分式线性映射的保圆性知：
一、重点与难点
重点：分式线性变换及其映射特点 难点：分式线性变换与初等函数相结合，求一
些简单区域之间的映射
2
二、内容提要
f (z) 的几何意义 共形映射
一一对应性 保角性 保圆性
保对称性
分式线性映射
分 式 线 性 映 射 的 确 定
对 确 定 区 域 的 映 射
几个初等 函数构成
的映射
幂指 函数 数函
称为分式线性映射. 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成:
(1)平移映射 w z b;
(2)旋转与相似映射w az; (3)反演映射 w 1 .
z
9
分式线性映射的性质 1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应. 2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.
如果规定两条伸向无穷远的曲线在z 处
Re(z) x,Im(z) y,
因为 w eiz e y (cos x i sin x) 所以 u e y cos x, v e y sin x,
u2 v2 e2 y , v utan x,
29
又因为 Re(z) x C1, Im( z) y C2
故 w z (2 i) . iz 2 (1 i)
27
例4 问分式线性映射w z 将单位圆盘 z 1映 z1
射成w 平面上的什么区域?
解 由已知条件z 1,故从所给映射中将z解出:
z w ,
w z 1
w1 w1
即 w 2 w 1 2 (w 1)(w 1) w 2 (w w ) 1,
定义 设 w f (z)在 z0 的邻域内是解析的,在 z0 具有保角性和伸缩率不变性，那末 w f (z) 在 z0 是共形的，或称w f (z) 在 z0 是共形映射． 也称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不 变而方向相反的映射, 称为第二类共形映射
8
3.分式线性映射
定义 w az b (ad bc 0, a,b,c,d均为常数.) cz d
n 0
0
16
特殊地: w zn将角形域0 arg z 2 共形映射成w平面上
n
除去正实轴的区域.
(z)
(w)
2
w zn
0
n
zn w
0
因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利 用幂函数 w zn(或根式函数 w n z) 所构成的共 形映射.
17
2) 指数函数w ez .
w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
交比不变性
13
对确定区域的映射
在分式线性映射下, C的内部不是映射成 C 的内部便映射成C 的外部. 判别方法: 方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取 一点 z0 , 若 z0的象在 C内部, 则 C的内部就映为 C的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映 为 C 的外部.
数
w zn w ez
3
1. f (z)的几何意义
设 z z(t)( t )表示z平面内一条有向连
续曲线C,正方向为t增大方向, z(t)为连续函数.如果
z(t0 ) 0, t0 ,那么表示z(t0 )的向量与C相切
于点z z(t0 ). 若规定z(z0 )的方向(起点为z0 )为C上点z0处切线的 正向,则有 (1) Argz(t0 )就是C上点z0处的切线的正向与x轴 正向之间的夹角.
w f (z) ei z a ( a 1) 1 az
因为 a 1 , 2
所以 w ei 2z 1, 2 z
23
又因
f (z)

e i
3 (2 z)2
,
所以
f

1 2


4e i 3
0,


arg
f

1 2


2kπ
(k 0,1,2 )
21
解3 利用典型区域映射公式
将所求映射设为 w ei z A z , 1z 1z
因为 z 1 i 时, w , 所以 1 (1 i) 0,
1 , 1 ,
1 i
1 i
又 z 1时, w 1, 所以 A 1 i,
s
(s表示C上点z0与z间的
弧长, 表示上对应的w0与w之间的弧长)的值称
为曲线C在z0的伸缩率.
f (z0 )是经过映射w f (z) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及 方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
7
2.共形映射（保角映射）
设函数 w f (z)在区域 D内解析, z0为 D内一点, 且 f (z) 0, 那末映射w f (z)在z0 具有两个性 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
4
(2) 相交于一点的两条曲线 C1与 C1正向之间 的夹角, 就是 C1与 C2在交点处的两条切线正向 之间的夹角. 设 w f (z)在区域 D内解析, z0 D, 且 f (z0 ) 0. C : z平面内过 z0 的有向光滑曲线, 参数方程 :
z z(t), ( t );
映射特点: 把水平的带形域 0 Im( z) a 映射成
角形域 0 arg w a.
ai (z)
(w)
0 特殊地: (z)
2i
0
w ez w e2
0
(w)
0
如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数.
18
三、典型例题
例1 求分式线性映射,使 z 1映射成 w 1,且使 z 1,1 i映射成w 1,. 解1 利用分式线性映射不变交比和对称点

0

w1

i 2i 2

i, 2
25
当w1 g( )时，


g1(w1 )
e i
w1 i 1 i w1
2 2
,
z 2 ei (w 2i) 2 i 2 , 1 (i 2) ((w 2i) 2)
所以 z 2 ei 2(w i) (w),
2 iw
f (z)与 (w)互为反函数，
26
由 arg f (2) 0，
arg(i) arg 1 0,
f (2)
(i )

2

e i
2(w 2
i) iw
2ei 3,
wi
得 0. 所以 z 2 2(w i)，
2 iw
故
z 1
w i 1
1 i 1z
1
(i 1)z 1 为所求. z (1 i)
1 i
22
例2 求一个分式线性映射 w f (z)它将圆 z 1 映成圆 w 1 ,且满足条件 f (1 2) 0, f (1 2) 0.
解 因 z 1映成 w 1 的映射为
1, 1
1
i
,
z,1

i

即
w w
1


z
z

1 1
1i
1 i 1 1i 1

z1 , zi z i
1 i
所以 w (i 1)z 1 为所求. z (1 i)
20
解2 利用不变对称点 因 z 1 i 时, w , 所以 w az b ,
映射 w f (z) 将 C 映射成 w平面内过 w0 f (z0 )
的一条有向光滑曲线 w f [z(t)], z , 且
5
1) 导数f (z0 ) 0的幅角Arg f (z0 )是曲线C经过 w f (z)映射后在z0处的转动角. 2) 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关. 3)保角性
z (1 i) 又 z 1时, w 1, 故 i a b, 由对称点的不变性知， z 1 对应 w 0,
1 i 故 b 1, a 1 i,
所以 w (1 i)z 1 (i 1)z 1 为所求. z (1 i) z (1 i)
i
w1将两相切的圆周映射为两平行的直线(且w1(1) i).
所以
w

w

1

1 2
(w

w
)

1 2
,
即Re(w) 1 , 2
故 z 1映为w平面上的半平面 Re(w) 1 . 2