第三章 轴向拉压变形3-2 一外径D=60mm 、内径d =20mm 的空心圆截面杆，杆长l = 400mm ，两端承受轴向拉力F = 200kN 作用。

若弹性模量E = 80GPa ，泊松比μ=0.30。

试计算该杆外径的改变量∆D 及体积改变量∆V 。

解：1. 计算∆D 由于 EAF D DεEAF εμμε-=-=='=Δ ， 故有0.0179mmm 1079.1 m 020.00600(π1080060.01020030.04)(π4Δ5229322-=⨯-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=--=-='=-）.d D E FD EA FDD εD μμ2.计算∆V变形后该杆的体积为 )21()1)(1(])()[(4π)(222εεV εεAl d εd D εD l l A l V '++≈'++='+-'++=''='ε故有337393mm 400m 1000.4 )3.021(m 1080400.010200)21()2(Δ=⨯=⨯-⨯⨯⨯=-='+=-'=-μE Fl εεV V V V 3-4 图示螺栓，拧紧时产生l ∆=0.10mm 的轴向变形。

已知：d 1= 8.0mm ，d 2= 6.8mm ，d 3 = 7.0mm ；l 1=6.0mm ，l 2=29mm ，l 3=8mm ；E = 210GPa ，[σ]=500MPa 。

试求预紧力F ，并校核螺栓的强度。

题3-4图解：1.求预紧力F各段轴力数值上均等于F ，因此， )(π4)(Δ233222211332211d l d l d l E F A l A l A l E F l ++=++=由此得kN 6518N 108651N )007.0008.00068.0029.0008.0006.0(41010.010210π)(4Δπ422239233222211..d l d ld l l E F =⨯=++⨯⨯⨯⨯⨯=++=-2.校核螺栓的强度514MPa Pa 1014.5m 00680πN 1065.184π4822322min max =⨯=⨯⨯⨯===.d F A F σ此值虽然超过][σ，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。

3-5 图示桁架，在节点A 处承受载荷F 作用。

从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1= 4.0×10-4与ε2= 2.0×10-4。

已知杆1与杆2的横截面面积A 1= A 2=200mm 2，弹性模量E 1= E 2=200GPa 。

试确定载荷F 及其方位角θ之值。

题3-5图解：1.求各杆轴力 16kN N 1061N 10200100.4102004649111N1=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--.A εE F8kN N 108N 10200100.2102003649222N2=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--A εE F2.确定F 及θ之值由节点A 的平衡方程0=∑x F 和0=∑y F 得 0sin30sin sin30N1N2=-+ F θF F0cos cos30cos30N2N1=-+θF F F化简后，成为 θF F F sin 2N2N1=-(a)及θF F F cos 2)(3N2N1=+(b)联立求解方程(a )与(b )，得 1925.010)816(310)816()(3tan 33N2N1N2N1=⨯+⨯-=+-=F F F F θ 由此得 9.1089.10≈=θkN 2.21N 102.12N 8910sin 210)816(2sin 43N2N1=⨯=⨯-=-=.θF F F 3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。

已知板的厚度为δ，长度为l ，左、右端的宽度分别为b 1与b 2，弹性模量为E 。

试计算板的轴向变形。

题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为x x b E F x x EA F l l l d )(d )(Δ00⎰⎰==δ(a)由图可知，若自左向右取坐标x ，则该截面的宽度为x lb b b x b 121)(-+= 代入式(a )，于是得12120121ln)(d 1Δb b b b E δFlx x l b b b δE F l l -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰ 3-7 图示杆件，长为l ，横截面面积为A ，材料密度为ρ，弹性模量为E ，试求自重下杆端截面B 的位移。

题3-7图解：自截面B 向上取坐标y ，y 处的轴力为gAy F ρ=N该处微段d y 的轴向变形为y Egyy EAgAyΔy d d d ρρ==于是得截面B 的位移为Egl y y EgΔlBy 2d 2ρρ==⎰ )(↓3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F ，并由作用于地桩的摩擦力所支持。

设沿地桩单位长度的摩擦力为f ，且f = ky 2，式中，k 为常数。

已知地桩的横截面面积为A ，弹性模量为E ，埋入土中的长度为l 。

试求地桩的缩短量δ。

题3-8图解：1. 轴力分析摩擦力的合力为3d d 30 20 kl y ky y f F lly ===⎰⎰根据地桩的轴向平衡，F kl =33由此得33lFk =（a ）截面y 处的轴力为3d d 30 2N ky y ky y f F yy===***⎰⎰2. 地桩缩短量计算截面y 处微段d y 的缩短量为 EAyF δd d N =积分得EAkl y y EA k EA y F δl l 12d 3d 40 3 0 N ===⎰⎰将式(a )代入上式，于是得EAFlδ4=3-9 图示刚性横梁AB ，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。

设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k ，试求当载荷F 作用时端点B 的铅垂位移。

题3-9图解：载荷F 作用后，刚性梁AB 倾斜 (见图3-9)。

设钢丝绳中的轴力为N F ，其总伸长为l Δ。

图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程∑=0A M 得 )2()(N N b a F b a F a F +=++由此得F F =N由图3-9可以看出， )2( b a y +=θ∆)2()(Δ21b a b a a ΔΔl y y +=++=+=θθθ可见，l Δy Δ=(b)根据k 的定义，有 y k Δl k F ==ΔN于是得kFk F Δy ==N3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试计算节点A 的水平与铅垂位移。

题3-10图（a ）解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为（拉力）N2N1F F F == （压力） 2N4F F =0N3=F于是得各杆的变形分别为 )( 21伸长EAFll l =∆=∆ )( 2224伸长＝EAFlEA l F l ⋅=∆03=∆l如图3-10(1)所示，根据变形∆l 1与∆l 4确定节点B 的新位置B ’,然后，过该点作长为l +∆l 2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A 点的铅垂线相交于A ’,此即结构变形后节点A 的新位置。

于是可以看出，节点A 的水平与铅垂位移分别为0=Ax Δ()EAFlEA Fl EA Fl EA Fl l l l ΔAy 212222241+=++=∆+∆+∆=图3-10（b ）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为（拉力）N1F F = 0N2=F于是由图3-10(2)可以看出，节点A 的水平与铅垂位移分别为EA Fl l ΔAx =∆=1 EA Fl l ΔAy =∆=1 3-11 图示桁架ABC ，在节点B 承受集中载荷F 作用。

杆1与杆2的弹性模量均为E ，横截面面积分别为A 1=320mm 2与A 2 =2 580mm 2。

试问在节点B 和C 的位置保持不变的条件下，为使节点B 的铅垂位移最小，θ应取何值（即确定节点A 的最佳位置）。

题3-11图解：1.求各杆轴力 由图3-11a 得θF F θF F cot sin N2N1==，图3-112.求变形和位移 由图3-11b 得2222N221211N11cot Δ sin22ΔEA θFl EA l F l θEA Fl EA l F l ===＝， 及)cot sin sin22(tan Δsin Δ221221A θθθA E Fl θl θl ΔBy +=+=3.求θ的最佳值由0d /d =θΔBy ，得 0csc cot 2sin 2sin )sin2cos sin cos22(222221=⋅-+-A θθθθθθθθA 由此得0)cos 31(cos 22231=--θA θA将21A A 与的已知数据代入并化简，得003125.4cos 09375.12cos 23=-+θθ解此三次方程，舍去增根，得5649670cos .θ=由此得θ的最佳值为6.55opt =θ3-12 图示桁架，承受载荷F 作用。

设各杆的长度为l ，横截面面积均为A ，材料的应力应变关系为σn =B ε，其中n 与B 为由试验测定的已知常数。

试求节点C 的铅垂位移。

题3-12图解：两杆的轴力均为αcos 2N FF =轴向变形则均为Bl A F l B l l nn⎪⎭⎫ ⎝⎛===∆ασεcos 2 于是得节点C 的铅垂位移为αα1cos 2cos +=∆=n nn n Cy B A lF l Δ 3-13 图示结构，梁BD 为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。

在梁的中点C 承受集中载荷F 作用。

已知载荷F = 20kN ，各杆的横截面面积均为A =100mm 2，弹性模量E = 200GPa ，梁长l = 1 000mm 。

试计算该点的水平与铅垂位移。

题3-13图解：1.求各杆轴力 由0=∑x F ，得0N2=F由∑=0y F ，得kN 102N3N1===FF F 2．求各杆变形0Δ2=l34-693N11Δ0.50mm m 105.0m 1010010200000.11010Δl EA l F l ==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==- 3．求中点C 的位移 由图3-13易知，图3-13)(mm 50.0Δ )(mm 50.0Δ11↓==→==l Δl Δy x ，3-14 图a 所示桁架，承受载荷F 作用。

设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试求节点B 与C 间的相对位移∆B/C 。

题3-14图解：1. 内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为（拉力）24N 3N 2N 1N FF F F F ==== （压力）5N F F = 于是得各杆的变形分别为)( 24321伸长EAFll l l l =∆=∆=∆=∆ )( 225缩短EAFlEA l F l =⋅=∆ 2. 位移分析如图b 所示，过点d 与g 分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C 的铅垂线相交于点e 与h ，然后，在de 与gh 延长线取线段∆l 3与∆l 2，并在其端点m 与n 分别作垂线，得交点C ’，即为节点C 的新位置。