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2020年广东省清远市英德市中考数学一模试卷

中考数学一模试卷一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1.-5的相反数是()A. B. C. 5 D. -52.下列计算正确的是()A. a2+a3=a5B. 3C. (x2)3=x5D. m5÷m3=m23.下列交通标志是轴对称图形的是()A. B. C. D.4.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根,则k的取值范围是()A. k≤-4B. k<-4C. k≤4D. k<45.如图,已知a∥b,直角三角板的直角顶点在直线b上,若∠1=60°,则下列结论错误的是()A. ∠5=40°B. ∠2=60°C. ∠3=60°D. ∠4=120°6.下列命题是假命题的是()A. 正五边形的内角和为540°B. 矩形的对角线相等C. 圆内接四边形的对角互补D. 对角线互相垂直的四边形是菱形7.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,BD为直径,若∠A=65°,则∠DBC的值是()A. 15°B. 25°C. 35°D. 65°8.数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是()A. 21和19B. 21和17C. 20和19D. 20和189.函数y=的图象经过(1,-1),则函数y=kx-2的图象是()A. B. C. D.10.如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①∠C=∠E;②△ADE∽△FDB;③∠AFE=∠AFC;④FD=FB.其中正确的结论是()A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、填空题(本大题共6小题,共24.0分)11.因式分解:9x2-4=______.12.若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为______.13.2018年5月13日,中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务,共排水量超过6万吨,将数60000用科学记数法表示应为______.14.闹元宵吃汤圆是我国传统习俗,正月十五小明的妈妈煮了一碗汤圆,其中有4个花生味和2个芝麻味,小明从中任意吃一个,恰好吃到花生味汤圆的概率是______.15.不等式组的解集是______.16.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,阴影部分的面积为______.三、计算题(本大题共3小题,共21.0分)17.先化简,再求值:÷(-2),其中x=2cos30°+tan45°.18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°.(1)请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E(不写作法,保留作图痕迹).(2)在(1)的条件下,连接AD,求证:△ABC∽△EDA.19.如图,在⊙O中,直径AB垂直弦CD于E,过点A作∠DAF=∠DAB,过点D作AF的垂线,垂足为F,交AB的延长线于点P,连接CO并延长交⊙O于点G,连接EG.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若AD=DP,OB=3,求的长度;(3)若DE=4,AE=8,求线段EG的长.四、解答题(本大题共6小题,共45.0分)20.计算:21.如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A-B-D的路线可至山顶D处,假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求DE的长.(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,≈1.41)22.某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻,体育,动画,娱乐,戏曲),从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.请根据以上信息,解答下列问题:(1)这次被调查的学生共有多少人?(2)请将条形统计图补充完整;(3)若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人?(4)该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答).23.人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售,若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元,其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同.(1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元?(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件,该商场甲种牛奶的销售价格为49元,乙种牛奶的销售价格为每件55元,则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后,可使销售的总利润(利润=售价-进价)等于371元,请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件?24.如图,双曲线y=(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C,AB∥x轴,点A的坐标为(2,3),BE⊥x轴,垂足为E.(1)确定k的值;(2)若点D(3,m)在双曲线上,求直线AD的解析式;(3)计算△OAB的面积.25.如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E在对角线AC上,连接BE、DE,(1)如图1,作EM⊥AB交AB于点M,当AE=时,求BE的长;(2)如图2,作EG⊥BE交CD于点G,求证:BE=EG;(3)如图3,作EF⊥BC交BC于点F,设BF=x,△BEF的面积为y.当x取何值时,y取得最大值,最大值是多少?当△BEF的面积取得最大值时,在直线EF取点P,连接BP、PC,使得∠BPC=45°,求EP的长度.答案和解析1.【答案】C【解析】解:根据相反数的定义得:-5的相反数为5.故选:C.根据相反数的定义,只有符号不同的两个数是互为相反数作答.本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.2.【答案】D【解析】解:A、a2+a3,无法计算,故此选项错误;B、3-2=,故此选项错误;C、(x2)3=x6,故此选项错误;D、m5÷m3=m2,正确.故选:D.直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案.此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.3.【答案】C【解析】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误;B、不是轴对称图形,故此选项错误;C、是轴对称图形,故此选项正确;D、不是轴对称图形,故此选项错误.故选:C.根据轴对称图形的概念求解.此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.4.【答案】C【解析】解:根据题意得△=42-4k≥0,解得k≤4.故选:C.根据判别式的意义得△=42-4k≥0,然后解不等式即可.本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.5.【答案】A【解析】解:∵a∥b,∠1=60°,∴∠3=∠1=60°,∠2=∠1=60°,∠4=180°-∠3=180°-60°=120°,∵三角板为直角三角板,∴∠5=90°-∠3=90°-60°=30°.根据平行线的性质:两直线平行,同位角相等,以及对顶角相等等知识分别求出∠2,∠3,∠4,∠5的度数,然后选出错误的选项.本题考查了平行线的性质,解答本题的关键上掌握平行线的性质:两直线平行,同位角相等.6.【答案】D【解析】解:A、正五边形的内角和为540°,正确,是真命题;B、矩形的对角线相等,正确,是真命题;C、圆内接四边形的对角互补,正确,是真命题;D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故错误,是假命题;故选:D.利用正多边形的性质、矩形的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项.本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解正多边形的性质、矩形的性质及菱形的判定,难度不大.7.【答案】B【解析】【解答】解:∵BD为直径,∴∠BCD=90°,由圆周角定理得,∠D=∠A=65°,∴∠DBC=90°-65°=25°,故选:B.【分析】根据圆周角定理得到∠BCD=90°,∠D=∠A=65°,根据直角三角形的性质计算即可.本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆周角定理是解题的关键.8.【答案】A【解析】解:在这一组数据中21是出现次数最多的,故众数是21;数据按从小到大排列:12、16、18、20、21、21,中位数是(18+20)÷2=19,故中位数为19.故选:A.根据众数和中位数的定义求解即可.本题考查了中位数,众数的意义.找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求;如果是偶数个,则找中间两个数的平均数.众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.9.【答案】A【解析】解:∵图象经过(1,-1),∴k=xy=-1,∴函数解析式为y=-x-2,所以函数图象经过(-2,0)和(0,-2).故选:A.先根据函数y=的图象经过(1,-1)求出k的值,然后求出函数y=kx-2的解析式,再根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标解答.主要考查一次函数y=kx+b的图象.当k<0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过第二、10.【答案】B【解析】解:在△ABC与△AEF中,,∴△AEF≌△ABC,∴AF=AC,∠AFE=∠C∴∠AFC=∠C,∴∠AFE=∠AFC;由∠B=∠E,∠ADE=∠FDB,可知△ADE∽△FDB;无法得到∠C=∠E;FD=FB.综上可知:②③正确.故选:B.先根据已知条件证明△AEF≌△ABC,从中找出对应角或对应边.然后根据角之间的关系找相似,即可解答.本题考查相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考常考题型.11.【答案】(3x-2)(3x+2)【解析】解:9x2-4=(3x-2)(3x+2).故答案为:(3x-2)(3x+2).直接利用平方差公式分解因式得出即可.此题主要考查了公式法分解因式,熟练应乘法公式是解题关键.12.【答案】2018【解析】解:由题意可知:2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1∴原式=3(2m2-3m)+2015=2018故答案为:2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.本题考查一元二次方程的解,解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义,本题属于基础题型.13.【答案】6×104【解析】解:60000=6×104,故答案为:6×104.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.14.【答案】【解析】解:∵一碗汤圆,其中有4个花生味和2个芝麻味,∴从中任意吃一个,恰好吃到花生味汤圆的概率是:=.故答案为:先求出所有汤圆的个数,由花生味汤圆为4个,再根据概率公式解答即可.此题考查了概率公式的应用,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.15.【答案】-3<x≤1【解析】解:,解①得x≤1,解②得x>-3,所以不等式组的解集为-3<x≤1.故答案为-3<x≤1.分别解两个不等式得到x≤1和x>-3,然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集.本题考查了解一元一次不等式组:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.16.【答案】2π-4【解析】连结OC,根据勾股定理可求OC的长,根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积,依此列式计算即可求解.考查了正方形的性质和扇形面积的计算,解题的关键是得到扇形半径的长度.【解答】连接OC,∵在扇形AOB中∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点,∴∠COD=45°,∴△CDO是等腰直角三角形,∴OD=CD=,∴OC=,∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积=-×=2π-4.故答案为2π-4.17.【答案】解:原式=÷=•=,当x=2×+1=+1时,原式=.【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.18.【答案】(1)解:如图,DE为所作;(2)证明:∵点D在AC的垂直平分线上,∴DA=DC,∴∠CAD=∠C=30°,∵∠DEA=∠BAC=90°,∴△ABC∽△EDA.【解析】(1)利用基本作图作AC的中垂线;(2)先根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC,∠CAD=∠C=30°,然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△EDA.本题考查了作图-基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了相似三角形的判定.19.【答案】(1)证明:连接OD,如图1,∵OA=OD,∴∠DAB=∠ADO,∵∠DAF=∠DAB,∴∠ADO=∠DAF,∴OD∥AF,又∵DF⊥AF,∴DF⊥OD,∴DF是⊙O的切线;(2)∵AD=DP∴∠P=∠DAF=∠DAB,而∠P+∠DAF+∠DAB=90°,∴∠P=30°,∴∠POD=60°,∴的长度==π;(3)解:连接DG,如图2,∵AB⊥CD,∴DE=CE=4,∴CD=DE+CE=8,设OD=OA=x,则OE=8-x,在Rt△ODE中,∵OE2+DE2=OD2,∴(8-x)2+42=x2,解得:x=5,∴CG=2OA=10,∵CG是⊙O的直径,∴∠CDG=90°,在Rt△DCG中,DG==6,在Rt△DEG中,EG==2.【解析】(1)连接OD,如图1,先证明∠ADO=∠DAF得到OD∥AF,然后根据平行线的性质判断DF⊥OD,然后根据切线的判定定理得到结论;(2)先证明∠P=∠DAF=∠DAB,然后根据三角形内角和计算出∠P=30°,从而得到∠POD=60°,然后根据弧长公式计算;(3)连接DG,如图2,利用垂径定理得到DE=CE=4,设OD=OA=x,则OE=8-x,利用勾股定理得到(8-x)2+42=x2,解方程得到x=5,所以CG=2OA=10,然后利用勾股定理先计算DG,再计算EG.本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了垂径定理和勾股定理.20.【答案】解:原式=2×-2-1+3=2.【解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.21.【答案】解:在Rt△ABC中,∵AB=600m,∠ABC=75°,∴BC=AB•cos75°≈600×0.26≈156m,在Rt△BDF中,∵∠DBF=45°,∴DF=BD•sin45°=600×≈300×1.41≈423,∵四边形BCEF是矩形,∴EF=BC=156,∴DE=DF+EF=423+156=579m.答:DE的长为579m.【解析】本题考查解直角三角形的应用,锐角三角函数、矩形的性质等知识,解题的关键是学会利用直角三角形解决问题,属于中考常考题型.在R△ABC中,求出BC,在Rt△BDF中,求出DF,由四边形BCEF是矩形,可得EF=BC,由此即可解决问题.22.【答案】解:(1)这次被调查的学生人数为15÷30%=50人;(2)喜爱“体育”的人数为50-(4+15+18+3)=10人,补全图形如下:(3)估计全校学生中喜欢娱乐节目的有1500×=540人;(4)列表如下:所有等可能的结果为种,恰好选中甲、乙两位同学的有种结果,所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为=.【解析】(1)根据动画类人数及其百分比求得总人数;(2)总人数减去其他类型人数可得体育类人数,据此补全图形即可;(3)用样本估计总体的思想解决问题;(4)根据题意先画出列表,得出所有情况数,再根据概率公式即可得出答案.本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.23.【答案】解:(1)设乙种牛奶的进价为x元/件,则甲种牛奶的进价为(x-5)元/件,根据题意得:=,解得:x=50,经检验,x=50是原分式方程的解,且符合实际意义,∴x-5=45.答:乙种牛奶的进价是50元/件,甲种牛奶的进价是45元/件.(2)设购进乙种牛奶y件,则购进甲种牛奶(3y-5)件,根据题意得:(49-45)(3y-5)+(55-50)y=371,解得:y=23,∴3y-5=64.答:该商场购进甲种牛奶64件,乙种牛奶23件.【解析】(1)设乙种牛奶的进价为x元/件,则甲种牛奶的进价为(x-5)元/件,根据数量=总价÷单价结合用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设购进乙种牛奶y件,则购进甲种牛奶(3y-5)件,根据总利润=单件利润×销售数量,即可得出关于y的一元一次方程,解之即可得出结论.本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程.24.【答案】解:(1)将点A(2,3)代入解析式y=,得:k=6;(2)将D(3,m)代入反比例解析式y=,得:m==2,∴点D坐标为(3,2),设直线AD解析式为y=kx+b,将A(2,3)与D(3,2)代入得:,解得:则直线AD解析式为y=-x+5;(3)过点C作CF⊥x轴,垂足为F,∴CF∥BE,∴△OCF∽△OBE,∵C为OB的中点,即,∴CF==,∵C在双曲线y=上,∴C(4,),∴OF=4,OE=8,∴AB=8-2=6,得:S△AOB==9.【解析】(1)将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可;(2)将D坐标代入反比例解析式求出m的值,确定出D坐标,设直线AD解析式为y=kx+b,将A与D坐标代入求出k与b的值,即可确定出直线AD解析式;(3)过点C作CF⊥x轴,垂足为F,进而确定出三角形OCF与三角形OBE相似,根据C为OB的中点,得到相似比为1:2,确定出CD的值,进一步求得C的坐标,得出OF、OE,求得AB的长,根据三角形面积公式求出三角形AOB面积.此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,坐标与图形性质,以及反比例函数k的意义,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.25.【答案】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°,∵EM⊥AB,∴△AME是等腰直角三角形,∵AE=,∴AM=EM=1,∵AB=4,∴BM=3,∴BE=;(2)如图2,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCA=∠DCA=45°,BC=CD,∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE,∴BE=DE,∠CBE=∠CDE,∵EG⊥BE,∠BCD=90°,∴∠CBE+∠CGE=∠CGE+∠EGD=180°,∴∠CBE=∠EGD,∴∠EDG=∠EGD,∴EG=ED,∴EG=BE,(3)如图3,∵BF=x,BC=4,∴EF=CF=4-x,∴y=BF•EF=x(4-x)=-x2+2x=-(x-2)2+2,∵-<0,∴当x=2时,y最大值=2;如图4,当x=2时,即F是BC的中点,E是AC的中点,∴BE⊥AC,即∠BEC=90°,∴以E为圆心,以BE为半径的圆与直线EF交于P,此时∠BPC=∠BEC=45°,∴EP=BE=2,同理在BC的下方还有一个点P',满足∠BP'C=45°,∴EP'=P'F+EF=2+2+2=2+4.综上所述,EP的长度是2或2+4.【解析】【分析】(1)证明△AME是等腰直角三角形,可得AM=EM=1,根据勾股定理可得BE的长;(2)易证△BCE≌△DCE,则BE=DE,∠CBE=∠CDE,根据EG⊥BE,∠BCD=90°,及四边形内角和定理可得:∠CBE=∠EGD,所以EG=BE;(3)根据直角三角形面积公式可得:,配方后可得最值,先根据正方形的性质可知:∠BEC=90°,根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍,作圆可得圆周角∠BPC=45°,根据勾股定理可得PE=CE=,.本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,二次函数的性质及最值问题;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键,注意第三问与圆周角定理相结合解决问题.。

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