（3）画出 g x x 4 x R, x z 0 的简图，并直接写出 g x 的单调区间
x
（4）已知T x
4x2 2x
4x 1
5
,
x
>0,1@
，求函数
T
x
的值域
独家补充 2：已知 f x x a a ! 0 , x z 0
x
（1）判断 f x 的单调性并证明
B． ab 有最小值 D． 1 有最大值
a b
③狭义权方和不等式
独家补充 14：
（1）当 a,b, x,
y
!
0
时，求证：
a2 x

b2 y
t
a b 2
xy
（2）当 x, y ! 0 时，已知 1 2 2 ，求 x y 的最小值
xy
（3）当 x, y ! 0 时，已知 1 2 2 ，求 x 2y 的最小值
xy
（4）设 a ! 1,b ! 0, a b
2
，求
a
1
1

2 b
最小值
（5）已知实数
a
!
0
，
b
!
0
，
a
1
1

b
1
1
1 ，则 a 2b 的最小值为（
2
）
A． 2 2
B． 6 4 2
C． 3 2 2
D． 3 4 2
（6） x, y 为正实数，且 x y
1 ，则
x2 x2
（2）证明 f (x) 的奇偶性
（3）画出 g x x 4 x R, x z 0 的简图，并直接写出它单调区间
x
②对勾函数/飘带函数的应用
独家补充 3：
（1）函数 y x 10 2 d x d 7 的最小值为_________；函数 y x 10 2 d x d 7 的最
（）
A．
«¬ª
1 5
,1º»¼
B． >0,1@
C． f,1@
D． >1,5@
B． 2 3
C． 1 3
2
D． 4 2 3
独家补充 11： x, y 为正实数，且 x y
1 ，则
x2 x2

y2 y 1
的最小值是
（Ⅲ）柯西不等式
①柯西不等式的证明
独家补充 12：下面比较大小正确的是（ ）
A． ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
的值为（ ） A．2
B． 3
2
C．3
D． 9
2
讲义例 5：已知 a ， b ! 0 ， a b
1 ，则
1 2a
1

b
2
1
的最小值是（
）
A． 9
5
B． 11
6
C． 7
5
D．1 2 2
5
独家补充
10：若
x
!
0
，
y
!
0
，且
x
1 1

x
1 2y
1，则 2x y 的最小值为（
）
A．2
②基本不等式的应用 1.基本不等式的直接使用 独家补充 5：
（1）函数 y x 10 2 d x d 7 的最小值为_________
x
（2）若 x ! 1，求函数 y 2 3x 4 的最大值为_________
x
（3）已知正实数 x, y 满足 2x y 1 ，则 xy 的最大值为_________
（2）已知 2x2 3y2 d 6 ，求 x 2y 的最大值
（3）已知 1 2 2 ，求 x 2y 的最小值
xy
讲义例 2：（2015 年上海市春季高考）
已知 a ! 0 ， b ! 0 ，若 a b 4 ，则（ ）
A． a2 b2 有最小值 C． 1 1 有最大值
ab
a
（2）已知 a,b 0, f ， 2a b 2 ，则 a 1 的取值范围是_________
ba
（3）设 a b 2 ，b ! 0 ，求 1 a 的最小值，并求当 1 a 取得最小值时，a,b
2a b
2a b
的值为？
（4）已知实数
a
，
b
满足
ab
!
0
，则
a
a
b

a
a 2b
A、 a ! 1
B、 a 3
C、 a d 3
D、 a t 1
（2）若不等式 x 4 x 3 d a 对一切 x R 恒成立，那么实数 a 的取值范围是
（）
A、 a ! 1
B、 a 1
C、 a d 1
D、 a t 1
（3）若关于 x 的不等式 x t2 2 x t2 2t 1 3t 无解，则实数 t 的取值范围是
x
x
大值为_________
（2）若 x ! 1，求函数 y 2 3x 4 的最大值为_________
x
（3）若 x ! 1，求 f x
x

1 x 1
的最小值
（4）若 x ! 1，求 f x
x2
2x x 1
2
的最小值
（Ⅱ）基本不等式
①基本不等式的证明 独家补充 4：若 a,b ! 0 ，证明： a b t 2 ab
独家补充 7：函数 h x
x2 x
22 2x
x 1 1
，若存在正实数
x1
,
x2
,
...,Leabharlann xn，其中n

N*
且
n
t
2
，
使得 h xn h x1 h x2 } h xn1 ，则 n 的最大值为？
2.基本不等式的凑配及齐次化思想 独家补充 8： （1）已知 a ! 0 ，则 a 4 a 的最小值为_________
B． ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
C． ac bd 2 t a2 b2 c2 d 2
D． ac bd 2 ! a2 b2 c2 d 2
②柯西不等式的应用 独家补充 13： （1）求函数 y 3 x 5 4 6 x 的最大值
讲义例 1：（2015 年湖南省文科高考）
若实数 a ， b 满足 1 2 ab ，则 ab 的最小值为（ ）
ab
A． 2
B．2
C． 2 2
D．4
独家补充 6：
（1）若对任意正数
x
，不等式
x2
2
4

2a x
1
恒成立，则实数
a
的取值范围为？
（2）已知 a ， b 为正数， 4a2 b2 7 ，则 a 1 b2 的最大值为？
A． >8， f
B． >3， f
C． f，3@
D． f，8@
讲义例 3：已知 x 2 y xy x ! 0, y ! 0 ，则 2x y 的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
独家补充 9：已知 x ! 0 ， y ! 0 ， 2x y 2xy ，若 x ay 的最小值为 8，则正实数 a
的最大值为？
3.“1”代法
讲义例 4：已知正实数 x ， y 满足 x y
3 ，则 4 1 的最小值（
xy
）
A．2
B．3
C．4
D． 10
3
讲义例 6：已知 m ! 0 ， n ! 0 ， 1 4 1 ，若不等式 m n t x2 2x a 对已知的 m ，
mn
n 及任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
一.必考题型
第 3 讲 基本不等式
二.高频易错题型 三.压轴题型
四.习题+解答 （Ⅰ）对勾函数
①对勾函数/飘带函数的图象及性质
独家补充 1：已知 f x x a a ! 0 , x z 0
x
（1）判断 f x 在 0, a , a, f 上的单调性并证明
（2）证明 f (x) 的奇偶性

y2 y 1
的最小值是
（7）已知
a
!
1,
b
!
1
，则
a2 b
1

b2 a
1
最小值是
（Ⅳ）三角不等式
①三角不等式的证明 独家补充 15：证明: x y d x r y d x y
②三角不等式的应用
独家补充 16：
（1）若关于 x 的不等式 x 2 x 1 a 无解，则 a 的取值范围是（ ）