5．解：取曲线222
:4,
c x y c ε+
+=（取逆时针方向）所围区域记为c D ，记c 与L 所围区域记为D ，
记()22
2
2222224(,),(,)444y x Q P y x P x y Q x y x y x y x y x y -∂∂-==⇒==++∂∂+ …………2分
故222244c L c ydx xdy ydx xdy
I x y x y ++-+-+=
-⇒++⎰⎰蜒 ……………4分
2
2
1
1
02.c
c
D I ydx xdy dxdy πε
ε
+=-
-+=-
=-⎰⎰⎰Ñ ……………8分
6．解：：取曲面12
2
:1
z x y =⎧
∑⎨
+≤⎩上侧，记∑与1∑所围立体区域为Ω，
记Ω在xoy 平面的投影为{
}
22
(,)1D x y x y =+≤，则 1
1
332
223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑+∑∑=
-++-⇒⎰⎰⎰⎰Ò ……………3分 ()()226663D
I x y z dv dxdy Ω
=-++--⇒⎰⎰⎰⎰⎰ ……………6分
()2
21
12
66323.r I d rdr r
z dz πθππππ-=-++=-+=⎰⎰⎰
……………8分
7．解：令22
2123(21)lim
lim 1121n n n n n n
u n u n x x x x u n +→∞
→∞+=+⇒==<⇒<+时，原幂级数绝对收敛； 在1x >时，原幂级数发散；在1x =时，原级数0
(21)n n ∞
=+∑发散。

……………3分
故原幂级数的收敛域为()1,1-。

……………4分
()
()221
212220
01()()1.11n n n n x x S x x
x x x x ∞
∞
++=='''+⎛⎫⎛⎫====< ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭-∑∑ ……………8分
四、（本题满分7分）
解：令22222(,,,,)(2)(35)L x y z x y x y z x y z λμλμ=+++-+++- …………3分
联立解方程组222220
220
151,51,054301520350
x
y z L x x L y y x x y or y z r L z z z L x y z L x y z λμλμλμλμ⎧'=++=⎪⎪'=++===-⎧⎧⎪⎪⎪⎪
'⇒==-⇒==-+=⎨⎨⎨⎪⎪⎪==⎩⎩'=+-=⎪⎪'=++-=⎪⎩ …………6分 根据实际，最远点和最近点必存在，而驻点恰好有两个，
故
最远的距离为。

………………7分
五、（本题满分7分）
证明：（1）tan 1n 2n
2400111tan (1tan )t (1)
x t n n a a x x dx dt n n n n n π=++=+==⇒+⎰⎰ ……………2分 22111
11
11(1)1n
n k k k k n k k k a a a a S k k k n k ∞
++===++===-⇒=++∑∑∑ ……………3分 （2）n tan 1
1n
n
4
20
00t 1tan t 1+t 1x t
n a xdx dt dt n π
===<=⇒+⎰
⎰⎰Q ……………5分 ()111
1n a n n n n λλλ+<<⇒+Q 级数1
n n a n λ∞
=∑收敛。

……………7分。