第19章检测题时间：120分钟满分：120分一. 选择题(每题3分，共30分)1．下列说法中，错误的是( D )A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形2．(2017·上海)已知平行四边形ABCD，AC.BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB3．如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( C )A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE,第3题图) ,第4题图),第5题图) ,第6题图) 4．如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，小华依下列方法作图，①作∠C的角平分线交AB 于点D；②作CD的中垂线，分别交AC.BC于点E.F；③连结DE.DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是( A )A．四边形CEDF为菱形 B．DE＝DAC．DF⊥CB D．CD＝BD5．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AE＝4 cm，那么平行四边形AEDF周长为( B )A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．22 cm6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC.AB于点D.F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( A ) A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 37．菱形ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若点A的坐标为(－1，2)，则点C的坐标为( A )A．(1，－2) B．(2，－1) C．(1，－3) D．(2，－3)8．如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD.BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD.AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是( D )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个,第8题图) ,第9题图),第10题图)9．如图，两条笔直的公路l 1.l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A.B.D ，已知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是( B )A ．3公里B ．4公里C ．5公里D ．6公里10．(2017·攀枝花)如图，正方形ABCD 中，点E.F 分别在BC.CD 上，△AEF 是等边三角形，连结AC 交EF 于点G ，过点G 作GH ⊥CE 于点H ，若S △EGH ＝3，则S △ADF ＝( A )A ．6B ．4C ．3D ．2二. 填空题(每小题3分，共24分)11．矩形内有一点P 到各边的距离分别为1.3.5.7，则该矩形的最大面积为__64__． 12．若菱形的一条对角线长为2 cm ，面积为2 3 cm 2，则它的周长为__8_cm __．13．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转到能与△CBP ′重合，若PB ＝3，则PP ′＝__32__．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为斜边AB 上一点，以线段CD.CB 为边作▱CDEB ，当AD ＝__75__时，▱CDEB 为菱形． ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图)15．如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB.BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线距离之和PE ＋PF ＝__4.8__．16．在矩形ABCD 中，对角线AC.BD 交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若OE ∶ED ＝1∶3，AE ＝3，则BD ＝__4或855__． 17．如图，在正方形ABCD 中，点E.F 分别在边BC.CD 上，且AE ＝EF ＝FA.下列结论：①△ABE ≌△ADF ；②CE ＝CF ；③∠AEB ＝75°；④BE ＋DF ＝EF ；⑤S △ABE ＋S △ADF ＝S △CEF .其中正确的是__①②③⑤__．(只填写序号),第17题图) ,第18题图)18．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝CD ＝AC ＝23，AB ＝6，则BD 的长为__42__．三. 解答题(共66分)19．(10分)如图，四边形ABCD 为菱形，已知A(0，4)，B(－3，0)．(1)求点D 的坐标；(2)求经过点C 的反比例函数表达式．解：(1)∵A (0，4)，B (－3，0)，∴OB ＝3，OA ＝4，∴AB ＝5.∵在菱形ABCD 中，AD ＝AB ＝5，∴OD ＝1，∴D (0，－1)．(2)∵BC ∥AD ，BC ＝AB ＝5，∴C (－3，－5)．设经过点C 的反比例函数表达式为y ＝k x.把(－3，－5)代入表达式，得k ＝15， ∴y ＝15x.20．(10分)已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，连结AD ，取AD 的中点E ，过点A 作BC 的平行线与CE 的延长线交于点F ，连结DF.(1)求证：AF ＝DC ；(2)请问：AD 与CF 满足什么条件时，四边形AFDC 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ≌△DEC ，∴AF ＝DC.(2)当AD ＝CF 时，四边形AFDC 是矩形，理由如下：由(1)得AF ＝DC 且AF ∥DC ，∴四边形AFDC 是平行四边形．又∵AD ＝CF ，∴四边形AFDC 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．21．(10分)如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 上一点，连结AF ，AF ＝BC ，DE ⊥AF ，垂足为E ，连结DF.求证：(1)△ABF ≌△DEA.(2)DF 是∠EDC 的平分线．证明：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠BAD ＝90°，∴∠BAF ＋∠BFA ＝90°，∠BAF ＋∠EAD ＝90°，∴∠BFA ＝∠EAD.∵DE ⊥AF ，∴∠AED ＝∠B ＝90°.又∵AF ＝BC ＝AD ，∴△ABF ≌△DEA.(2)∵△ABF ≌△DEA ，∴DE ＝AB.∵四边形ABCD 为矩形，∴∠C ＝90°，AB ＝CD ，∴DE ＝CD ，∴DF 是∠EDC 的平分线．22．(12分)如图，平行四边形ABCD 中，AC ＝6，BD ＝8，点P 从点A 出发以每秒1 cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1 cm 的速度沿射线CA 移动．(1)经过几秒，以P.Q.B.D 为顶点的四边形为矩形？(2)若BC ⊥AC 垂足为C ，求(1)中矩形边BQ 的长．解：(1)经过7秒，四边形BPDQ 为矩形．理由如下：经过7秒，PA ＝QC ＝7，∵AC ＝6，∴CP ＝AQ ＝1，∴PQ ＝BD ＝8.∵四边形ABCD 为平行四边形，BD ＝8，AC ＝6，∴AO ＝OC ＝3，∴BO ＝DO ＝4，∴OQ ＝OP ＝4，∴四边形BPDQ 为平行四边形．∵PQ ＝BD ＝8，∴四边形BPDQ 为矩形，(2)由(1)得BO ＝4，CQ ＝7，CO ＝3. ∵BC ⊥AC ，∴∠BCA ＝90°，∴BC ＝OB 2－OC 2＝7.又BC 2＋CQ 2＝BQ 2，∴BQ ＝56＝214.23．(12分)如图①，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上的一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于点N.(1)求证：MD ＝MN.(2)若将上述条件中的“M 是B 的中点”改为“M 是AB 上的任意一点”，其余条件不变(如图②)，则结论“MD ＝MN ”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．解：(1)证明：取AD 的中点F ，连结FM.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠A ＝∠ABC ＝90°.又∵M .F 分别是AB .AD 的中点，∴AM ＝MB ＝12AB ＝12AD ＝DF ＝AF. ∴AF ＝AM ，DF ＝MB.又∵∠A ＝90°，∴∠AFM ＝45°，∴∠DFM ＝135°.∵BN 平分∠CBE ，∴∠MBN ＝90°＋45°＝135°，∴∠DFM ＝∠MBN.∵MN ⊥DM ，∴∠NMB ＋∠DMA ＝90°.又∵∠FDM ＋∠DMA ＝90°，∴∠FDM ＝∠NMB ，∴△DFM ≌△MBN (ASA )．∴MD ＝MN.(2)成立．证明：在AD 上取一点F ，使得AF ＝AM.同理于(1)的证明过程，可得∠FDM ＝∠NMB ，∠DFM ＝∠MBN ＝135°.∵AD ＝AB ，AF ＝AM ，∴DF ＝MB.∴△DFM ≌△MBN (ASA )．∴MD ＝MN.24．(12分)(1)如图矩形ABCD 的对角线AC.BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且DP ＝OC ，连结CP ，判断四边形CODP 的形状并说明理由；(2)如果题目中的矩形变为菱形，结论变为什么？说明理由；(3)如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．解：(1)四边形CODP 的形状是菱形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∴OC ＝OD.∵DP ∥OC ，DP ＝OC ，∴四边形CODP 是平行四边形． ∵OC ＝OD ，∴平行四边形CODP 是菱形．(2)四边形CODP 的形状是矩形．理由：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠DOC ＝90°. ∵DP ∥OC ，OP ＝OC ，∴四边形CODP 是平行四边形． ∵∠DOC ＝90°，∴四边形CODP 是矩形．(3)四边形CODP 的形状是正方形．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∴∠DOC ＝90°，OD ＝OC.∵DP ∥OC ，DP ＝OC ，∴四边形CODP 是平行四边形．∵∠DOC ＝90°，OD ＝OC ，∴平行四边形CODP 是正方形．。