2015-2016年北京丰台高三上学期理科数学试题及答案丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习高三数学（理科） 2016.01第一部分 （选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-12.“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图,计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（A1 （B（C（D ）25.函数()=sin 22f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是 （A ）23π （B ）712π （C ） 76π（D ）43π6. 若212xa dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b+=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（A）2 （B ）12 （C（D）38.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在71)x -（2的展开式中，2x 的系数等于_____.（用数字作答）10.若,x y 的满足30,30,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为 .11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .12.在ABC ∆中，3,1==BC AC ,点,M N 是线段AB 上的动点，则CM CN ⋅的最大值为_______.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .14.设函数(1),()ln()(1).x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________.俯视图侧视图主视图二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题13分）如图，在ABC ∆中，=12AB ，=36AC ，=56BC ，点D 在边BC 上，且60OADC ∠=.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅱ）求线段AD 的长.16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB =AD =PA =PB =2，BC =1，PC =5.（Ⅰ）求证：CF ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥平面ABCD ； (Ⅲ)求二面角B -PA -C 的余弦值.17.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310， 那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（Ⅲ）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）.18.（本小题13分）已知函数321()(0)3f x ax x a =+>. （Ⅰ）求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，求实数a 的取值范围.19.（本小题13分）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E .（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.20.（本小题13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -（Ⅰ）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（；（Ⅱ）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(21-≤≤+n n S n n丰台区2015-2016年第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B C A C A B D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．-84 10．-2 11. 18 12. 3 13．16314．1 , [)1,e -+∞ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．(本小题共13分)解：（Ⅰ）根据余弦定理：222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅222(36)(56)121323656+-==⋅⋅ ………6分 （Ⅱ）因为0C π<<，所以sin 0C > 22122sin 1cos 1()3C C =-=-=根据正弦定理得：sin sin AD ACC ADC =∠ sin sin AC C AD ADC⋅=∠8= ……………13分16．(本小题共14分)解：（Ⅰ）取AP 的中点M ，连接,MF MB ， 因为M 是AP 中点，F 是PD 中点， 所以1,2MF AD MF AD =， 又因为1,2BC AD BC AD =， 所以四边形BCFM 是平行四变形 ,FC BM FC ⊄面ABP ， BM ⊂面ABP所以FC 面ABP …………………………5分 （Ⅱ）连接CE ，因为在ABP ∆中，AB AP BP ==，点E 是边AB 在的中点， 所以PE AB ⊥且22213PE =-=，在Rt BEC ∆中，1BE EC ==，EB BC ⊥，所以2EC = 在PEC ∆中，3PE =，2EC =，5PC =，所以PE EC ⊥又因为,AB EC E AB =⊂面ABCD ，EC ⊂面ABCD 所以PE ⊥面ABCD ……………………9分（Ⅲ）取CD 中点N ，以EB ，EN ，EP 分别为轴x ，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)B，P ，(1,0,0)A - 因为：BC PE ⊥， AB BC ⊥ 所以BC ⊥面ABP面ABP 的法向量为(0,1,0)BC = 设面ABP 的法向量为2000(,,)n x y z =AP =，(2,1,0)AC =20000200200AP n x x y AC n ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩2(1,2,n =- 由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ1212cos ||||||n n n n θ⋅==⋅二面角B PA C --余弦值为：1212cos ||||||2n n n n θ⋅==⋅ ………………………14分17．(本小题共14分)解：（Ⅰ）1337141012C C P C ⋅==所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12 ………5分 （Ⅱ）1132437()()0.41161010P C =⋅= 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12 …………………………10分（Ⅲ）132P P P >> …………………………14分18．(本小题共13分)解：（Ⅰ）/2()2f x ax x =+，令/()0f x =得20x =，32x a=-.()f x极大值极小值∴函数()y f x=的极大值为322()()()33f aa a a a-=⋅-+-=；极小值为(0)0f=.…………………………8分(Ⅱ) 若存在11(1,)(,0)22x∈---，使得1()()2f x f=-，则由（Ⅰ）可知，需要21221,1(1)()2aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩（如图1）或3122a a-<-<-（如图2）.（图1）（图2）于是可得18(,4)(4,6)7a∈. (13)分19．(本小题共13分)（Ⅰ）有题意可知：RN RM=，即点R到直线1x=-和点M的距离相等.根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点.设R的轨迹方程为：22y px=，12p=，2p=所以R的轨迹方程为：24y x=. …………………………5分（Ⅱ）由条件可知(,0)bCk-，则(,0)bQk.联立24y kx by x=+⎧⎨=⎩,消去y得222(24)0k x bk x b+-+=，222(24)416(1)0bk b k bk∆=--=->.yxOQPCBA设112212(,),(,)()A x y B x y x x <，则22(,)P x y -12242bk x x k -+=，1x2x =. 因为1212AP y y k x x +===-，11110()AQ y k kx b k b kx b x k -+====-- 所以 AP AQ k k =,,,A P Q 三点共线 . …………………………13分20. （本小题共13分）（Ⅰ）证明：因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=-0（，所以数列{}n a 是递增数列，即231n a a a <<<<.又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=-（，所以111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（. …………………………3分（Ⅱ）解：因为211a a a -=，所以212a a =；因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2.因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，所以当=i k 时有1=2k k a a +.这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列.所以12n n a -=. …………………………8分（Ⅲ）证明：因为11=1a =，22=2a =，2332a ≤≤， 3442a ≤≤ (1)2n n n a -≤≤由上面n 个式子相加，得到：0121123+2+3++2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤1，化简得1231))(21)2n n n n a a a a +<++++<-（（所以12)1(21-≤≤+n n S n n . ………13分。