一、填空题
§2.4 高阶导数
1 . r cos sin , r 2 sin cos ; 2 . z e t 2 (1 2 t 2 ), z e t 2 ( 6 t 4 t 3 );
3. y 1 , 1 x2
y
(1
x x 2 )3/2
;
4 . y (n ) n! 2 n e 2 x1
2.解 . f ( x )可 导 , f ( x )连 续 , f (0) f (0 )
1 f (0) lim b(1 x 2 ) b. 又 x0
f(0) a ,
f ( 0 )
lim
x 0
b(1
x2) x
1
lim
x 0
(1
x2) x
1
0,
a 0. 综 上 所 述 ,当 a 0,b 1 时 , f ( x )处 处 可 导 .
§2.3隐函数的导数(23-24)
一.1.
ey 1xey ;
2.csc2(r );
3.csc2(x y);
4.cost sintcost sint, 32;
5. 2e2; 3
6. t ; 7.y2 2(x 2).
2
2
二 .1. dy ( x )x (ln
x
1 );
dx 1 x 1 x 1 x
二 .1.B ; 2.A .
(
g
(0
)
lim
x 00
g(x) x
g (0 )
lim f ( x )(1 x ) f (0 )
x 00
x
f (0 ) f (0 ),
类 似 地 g ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) ,
g
(0
)
g
(
0
)
,
f (0) 0.
三 .1 .解 :
1 )cos v
1 v
(
1 v2)
1 sin 2 1
2
v2 e
v sin . v
(4)解 .
y
th(ln x )
e ln x e ln x e ln x e ln x
x x
1
x 1
x
x2 1
2
x2 1 1 x2 1,
y
2 ( x 2 1)2
2x
4x ( x 2 1)2 .
lim
x1
x2 1 x 1
2,
f(1)
lim
x1
(ax b) x 1
1
lim
x1
(ax
1 a) x 1
1
a,
a 2,b 1 a 1.
四.证明. f (x)为偶函数, f (x) f (x).
f (0) lim f (x) f (0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0).
1 1 0
(二 )
f ( 0 )
lim
x 0
1
ex x
1
lim x 0
1 ,
x (1 e x )
f (0 )不 存 在 .
三.证明.(1)设f (x)为偶函数,则f (x) f (x), f (x) f (x), f (x) f (x), 即f (x)为奇函数;
(2)设f (x)为奇函数,则f (x) f (x), f (x) f (x), f (x) f (x), 即f (x)为奇函数;
5 . y e (sin cos ), y 2 e cos ,
y 2 e (cos sin ), y ( 4 ) 4 e sin ,
y (n)
n
2 2 e
sin(
n
);
4
6.
dy2t f(t2), dt
d2y dt2
2f
(t2)4t2
f
(t2);
7. 200!1
2.解: x ln y y ln x,ln y x y yln x y ,
y
x
y y( y x ln y) . x( x y ln x)
3.解 : y ln(1 t) ln(1 t),
y(n)
(1)n1 [(1 t)n
1 (1 t)n
](n 1)!.
4.解 : f (0 0 ) lim (2e x a ) 2 a , x 0 f (0 0) lim ( x 2 bx 1) 1, x 0
33 2
三.1. 2 (2sin cos )d;2. tan t;3. 2ln(1 x) dx;
1 x
4.
8tan(1 2x2 )sec2(1 2x2 )xdx;5.
(t)(1 t) (t)
(1 t)2
dt;
f (arctan 1 ) 6. 1 x2 x dx;
1
7,
dx; 8.sec xdx.
2. dy dx
(1
x 2 )sin x2 2 x[co s x 2 ln (1
x2)
sin 1
x2 x2]
;
三
.解
:
x y
x e x s in e x c o s 3 2 2 0
0 ,
x
e x cos 1 e x sin
,
y 3 2 2
dy (3 2 2 )(1 e x sin )
第二章 一元函数微分学
习题答案
§2.1导数的概念(19-20)
一.
f ( x0 ), 2 f ( x0 ),
f (0); 1 ; 4
f (x0)
x0 f ( x0 );
5米
秒
;
y
1 2
3 ( x ), y 1
2
3
2
2 ( x );
33
二 .1. y | sin x | 在 x 0处 连 续 但 不 可 导 .
(3)
2x a2
dx
2y b2
dy
0 ,
dy
b2 a2
x y
dx.
五.(4) 2lny2lnxln(ax)ln(ax),
2 y
y
2 x
1 ax
1 a
x
2 x
2a a2 x2
,
dy
ydx
y(1 x
a2
a
x2
).
习 题 课 (一 ) (29 30)
f(x 1) f(x)
一 .1. f ( x ); 注 意 : lim
6 . d x x t
f ( t )
1;
dy
y
t
f ( t ) f ( t ) t f ( t )
t
d(dy )
d 2y dx2
dx dt
dx
dt
1 f ( t )
7 . u v ln u ln v , 1 d v 1 1 d v , du u v du
d v v (u 1) , d u u (1 v ) . d u u (1 v ) d v v (u 1)
a2 x2
四.(1) 1arctanx c;(2) arcsinxc;(3) 1 x2 c;
a
a
(4)
1e2x c;(5)
ln(1ex)c;(6)
2
3
x2
c;
2
3
(7) ex2 c;(8) 1tan(2x3)c;(9) 1eln2 x c;
2
2
(10) d(sin2 x) (2sinx)dsinx sin2xdx.
x0
x
f (0) 0.
五 .证 明.
设 切 点 为( x0, y0 ),
y( x0 )
a2
x
2 0
y0 x0
,
切线方程为
:
y
y0
y0 x0
(x
x0 ),其 截 距 式 为
xy 1,
2 x0 2 y0
切线与两坐标轴构成的三角形面积
S
1 2
| 2x0
|
| 2 y0
|
2a 2为 常 数 ,与 切 点 无 关 .
y
1
(1 x ) 1
x 1 x2
1 x2 x
1
.
x 2 1 x 2 x (1 x 2 )
(2)解 . y 3 sec2(ln x ) sec(ln x )tan(ln x ) 1 x
3 sec3(ln x )tan(ln x ). x
(3)解 .
u
sin 2 1
e v ( 2 sin
二、求下列函数的二阶导数
1. y 9x2 arcsin x, y 18x arcsin x 9x2 ; 1 x2
2. y x y , x y
y
2( x2 y2 ) ( x y)3
;
3.
y x(arctg x)2,
y
(arctg
x)2
1
2
x x2
arctg
x
;
4.
dy sint cost , dx cost sint
h
f ( x ).
h
1
h
2.
a
x
2
ln x 1
,
2ax
x
x
2
1 2a
,
l
n
x
1 2
x
e ,a 1 . 2e
切线方程为
1 x y 1.
e
2
切点 ( e,1),k 1 2e
3 . f (0 );
4.dy
a y (ln
a
b )d x ;
bxx
5 . d (2 x 3 x c ), d ( f (ln x ) c );