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微积分习题解答(第二章)

微积分习题解答(第二章)1写出下列数列的一般项,并通过观察指出其中收敛数列的极限值。

()()11120,,0,,0,,2461112nn u n ⎡⎤=+-⎣⎦解:一般项该数列收敛,其极限为零。

()()11113,,,,26122011n u n n =+ 解:一般项该数列收敛,其极限为零。

()2510172642,,,,,23451n n u n+=解:一般项该数列发散。

3.利用定义证明下列极限;()nnnnn -11lim 060-110661ln ln 61ln 1,ln 6-106-1lim 06n n n N n N εεεεε→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭>⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>⎡⎤⎢⎥=+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫-< ⎪⎝⎭⎛⎫∴= ⎪⎝⎭证明:对于任给,要使只要取正整数当时总有不等式成立()223lim010111,0limn n n N n N εεεεε→∞→∞=>-=<>⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦-<∴=证明:对于任给,要使只要取正整数当时总有不等式成立4.试判断下列论点断是否正确。

()()()1,,lim 11111lim01n n n n n u A u A nnn n→∞→∞-=⨯--=+=≠-如果越大越接近零则有 错误 例如随着越大,而越加接近零,但()(){}1130lim 0N =N n >N 10lim n n n n n n n u A u Au u u Aεεεε→∞→∞>-=∠>-=<∴=如果对于任给,在数列中除有限项外,都满足不等式<,则有 正确设N 为题中的‘有限项’中的最大下标,由题意 对于任给,只要取正整数+1,当时, 总有不等式满足()(){}5s in s in n n n u nu n u ⨯==≤有界数列必定收敛错误 例如显然1,但发散6.利用定义证明下列极限:()()()()()()111lim 3120312311,3312lim 312x x x x x x x x εεεδδε→→-=>--=-<=<-<--<-=证明:对于任意给定的,要使只需取,则当0时总有 成立,于是,由极限定义可知()3lim ln 0ln 0,ln lim ln x MMx x M x M x eex x Mx δδ++→--→=-∞>∴<-⇒<<=<<<-=-∞证明:对于任意给定的,y =l n x 单调增加,要使只需取,则当0时总有成立,于是,由极限定义可知()14lim2120111212211,12121lim212x x x x x x x x X x xx x x εεεε→∞→∞=+>-=<<++=-<+=+证明:对于任意给定的,要使只需取,则当>X 时总有成立,于是,由极限定义可知()()()5lim 00010ln 01,ln 0,lim 0xx xxxxxx ee ee x x X eeεεεεεεεε→-∞→-∞=><<-==<=<<∴<<-<= 证明:对于任意给定的不妨设,要使只需取,取正数X =-l n ,则当>X 时总有成立,于是,由极限定义可知7。

指出下列变量当?x →时,是无穷小量:()2221211111lim0,lim1111,1x x x x x x x x x x x x →→∞-+--==++-∴→→∞+ 解:变量当或时是无穷小量。

()111111131lim,lim 0,111,xxx x xeex x e+++--→→-=-∞⇒=-∴→ 解:变量当时是无穷小量。

()()()()()315ln 311lim0,limln 3ln 313,ln 3x x x x x x x x -→-∞→--==--∴→→-∞- 解:变量当或时是无穷小量。

8指出下列变量当?x →时,是无穷大量:()222211111,02211,1x x x x x x x x x x +--→→-→++∴→→-- 解:当或变量当或为无穷大量。

()110131lim,lim 0,xx x x x e e xx e ++→→+=+∞=+∞∴→ 解:当为无穷大量。

9.当0x →时,比较下面无穷小量的阶。

()330312,2lim22x xx xx x xx x x →++=∴+ 解是的同阶无穷小量()()()()()()113ln 1,ln 1limlim ln 1ln lim 1ln 1ln 1x x x x x x xx x x e xx x →→→++=+=+==∴+ 解是的等价无穷小量()()005a rc ta n,a rc ta n a rc ta n limlim 110a rc ta n x x x x xx xxx xx x x x x →→--⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴- 解是的高阶无穷小量10.判别正误。

()()1⨯无穷小量是非常小的正数 错。

无穷小量是以零为极限的变量()()2⨯无穷小量是零 错。

零是无穷小量,但是无穷小量不一定是零。

()()1311x x 11x xx⨯→→≠→∞→是无穷小量 错。

如当x 1时,10,不是无穷小量,但是当x 时,0,是无穷小量。

()()(((x x 4x 1lim lim 0x →+∞→+∞⨯→+∞⎤-==⎦→+∞两个无穷大量之和仍为无穷大量错。

例如,当时均为无穷大量,但即,当时不是无穷大量,而是无穷小量。

()()()()()()()()()()(){}()()01201021205lim lim lim0,,,x x x x x x x x x x x x x x x x x x fx c gx x x fx g x δδδδδδδδ→→→∠∞∞∞→>-->>- 两个无穷大量之积仍为无穷大量对。

证明:设f =,g =均为无穷大量,要证f g =对于任给的M >0,因为当时f 与g 均为无穷大量,所有,存在>0,使得当 0<<,0<<时,总有取=m a x ,则当0<<时()()()()()0limx x fx g x Mx x →=>=∞即f g =()()x 0x 061x 0x x s inx1x s in1xlimlim s inxx1x x s inx→→⨯→= 任意两个无穷小量都可以比较阶的高低错。

例如,当时,与均为无穷小量,但不存在所以,不能比较与阶的高低。

()()71x x s inx⨯→∞ 无界变量一定为无穷大量错。

例如,当时,变量为无界变量,但不是无穷大量。

12.求下列极限:()231lim3223limlim2n n n n n →∞→∞→∞+++==解:原式=()231333lim2133021x x x →-+-=+解:原式=()()()()()()()22t 72234225lim137427210071t t t →+--⋅+⋅-=-解:原式=()137lim1-5311-514x x →⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭解:原式=()9limlim x x x →+∞→+∞-⎛=+∞⎝解:原式=()29lim2limx x x x →+∞→+∞---==+∞解:原式()34444342111lim3121lim311x x x x x x xx x x x →∞→∞+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭解:原式=()()()()146201466202032113lim3131122lim313x x x x x x x x →∞→∞-+-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭解:原式=()((215limlim1limx x x x x x →∞→∞→∞+⎛+- ===解:原式()()17lim01a 1lim0x x a a →+∞→+∞>≠⎧==⎨⎩且,讨论的各种可能情况,当0<a <1时解:原式,当1<a 时15.求下列极限:()0s in 1lim2s in 1s in 1limlim222x x x x x x x xx→→→==解:()()()2222222s in 3lim2s in 1s in limlim22x x x x x xx x x x x xx→→→-⎛⎫- ⎪-⎝⎭== 解:()0s in 35lims in 2s in 32s in 333limlims in 23s in 222x x x x x x x x xx x →→→==解:()0ta n 47lims in 2ta n 44limlim2s in 22x x x a r c x a r c x a r c x x a r c xx→→→== 解:()19lim s in1s in1lim s inlim11x x x x x x x xx→∞→∞→∞== 解:()005s in 311limta n 25s in 325s in 353limlim 1ta n 2ta n 22ta n 222x x x x x x x x xx xx x →→→--⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 解:()333313lim 133lim 1lim 1xx xxx x x ex x →∞---→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解:()()()()()11s in 0,ln 1s in ~s in 1ln 1s in 115lim 1s in lim 1s in lim lim xx x x x xx xxx x x x x x e ee→-→----→→→--============ 解:()3-23322217lim 1222lim 1lim 11x x xx x x x ex x x -→∞----→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=--= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解:18.指出下列函数的间断点类型;()()()()()()()()()22111211,1110,1101lim limlim 1201111021,112,1x x x xx f x xx fxfx x fxx f x fx xxx f x xx →-→-→-⎧-≠⎪=+⎨⎪=-⎩-=-==-=≠=-+∴=-=-⎧-≠⎪=+⎨⎪=-⎩解:,而是函数的可去间断点只要将在处定义由改为,所得函数即为连续函数()()()()()()()()()()()()313131311131111311011lim lim3101,013,0,1lim lim11x x x x x x x x x efx x x efx x x x efx x x x e x x x f x x x f x efx x x x ---→→--→→-=--==--==--∴=⎧-≠⎪-=⎨⎪-=⎩=-==∞-∴= 解:在处无定义,而是该函数的一个可去间断点。

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