直线一级倒立摆控制一、课程设计目的学习直线一级倒立摆的数学建模方法，运用所学知识设计PID控制器，并应用MATLAB进行仿真。

通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。

二、课程设计要求1. 应用动力学知识建立直线一级倒立摆的数学模型（微分方程形式），并建立系统的开环传递函数模型。

2. 运用经典控制理论知识，按设计要求设计控制器。

3. 应用MATLAB的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。

4. 控制要求：※小车的位置x和摆杆角度的稳定时间小于10秒；※阶跃响应摆杆角度的摆幅小于2°；※θ有≤8°扰动时，摆杆的稳定时间小于三秒。

对比仿真结果与控制要求，修正设计值，使之满足设计要求。

三、控制系统建模过程1、控制对象示意图/ 101图1.控制对象示意图图中对象参数：M 小车质量 1.32kg l 摆杆转动中心到杆质心的距离 0.27mm 摆杆质量 0.132kg F 作用在系统上的外力/ 102X 小车位移θ 摆杆与竖直方向的夹角，以垂直向上为起始位置,取逆时针方向为正方向。

b 小车摩擦阻尼系数 0.1N/m/sec 2. 控制系统模拟结构图：图2.系统的模拟结构图其中G1（s ）表示关于摆角θ的开环传递函数，D(S)表示PID 控制器的传递函数，G2（s ）表示小车位移x 的传递函数。

由于摆角与垂直向上方向夹角为0时为平衡状态，故摆角的理想输出值应为R （S ）=0。

3. 建模过程：T图3.小车及摆杆的受力分析图如图3所示，对小车及摆杆进行受力分析，得到以下平衡方程：对小车有： 22..................................(1)dx d xF F b N M dt dt=--=∑小车对摆杆有：/ 1032222(cos ) (2)(cos ).............................(3)d F N m x l dt d Fmg P m l l dtθθ==-=-=-∑∑水平竖直转矩：2222sin cos ...................................(4)1 (5)23ll d T I Pl Nl dt mr I dr ml l θθθ-==+==∑⎰为使摆杆直立，需使θ≪1，则有sin ,cos 1θθθ≈≈， 线性化（2）（3）（4）方程得：2222() (6)0.......................................................................(7)..............................d N m x l dtmg P d I Pl Nl dtθθθ=--==+................................(8) 由（1）（5）（6）（7）（8）式联立解得：222222222() (9)4 (10)3d x d dxF M m ml b dt dt dtd d xmgl ml ml dt dtθθθ=+-+=- 对（9）（10）两式进行拉式变换，得：22222()()()()()4()()()3F S M m s X s Mls s bsX s mgl s ml s s mls X s θθθ=+-+=- 传递函数：13222432()3()()(4)43()3()43()()(4)43()3s sG s F s Ml ml s bls M m gs gbX s ls gG s F s Ml ml s bls M m gs gbsθ==++-+--==++-+-/ 104将数值带入后得到系统的传递函数：132224323() 1.461240.10842.6888 2.941.0829.4() 1.461240.10842.6888 2.94sG s s s s s G s s s s s =+---=+--/ 105四、应用 Simulink 建立仿真模型进行实验1．控制系统的simulink 仿真结构图及仿真结果其中 PID 控制器的传递函数参数的初步围可以由劳斯判据确定，具体过程如下：/ 106设PID 控制器的传递函数为 1()P I D D s K K K s s=++， 则以θ为输出量的系统特征方程为111()()0P ID K K K s G s s+++= 整理得321.46124(30.108)(342.6888)(3 2.94)0D P I s K s K s K +++-+-=通过劳斯判据可以确定，若使系统稳定，则有0.48708(3 2.94)0.98,0,14.22960.1083I I D P DK K K K K ->>>++通过模拟系统反复实验，根据PID 各个参数的作用进行数值调整，得到使系统满足要求的PID 控制器的传递函数为：1()90092650D s s s=++2. 系统响应曲线在单位阶跃输入下，θ（t ）的响应曲线为：从该响应曲线可以看出，此时系统的稳定时间小于10s，且摆杆的摆幅小于2度，满足控制要求。

7/ 10/ 108当有8o θ≤的扰动时，θ（t ）的响应曲线为：此时，摆杆的稳定时间小于3s ，满足控制要求。

扰动脉宽为0.3s 时θ（t ）的响应曲线/ 109在单位脉冲（脉宽0.3s ≤）输入下，θ（t ）的响应曲线为：在单位阶跃输入下x （t ）的响应曲线为：在单位脉冲（脉宽0.3s）输入下x（t）的响应曲线为：五、实习总结经过两个星期的实习，我们学习了直线一级倒立摆的数学建模方法，运用所学知识成功设计出了PID控制器，并应用Matlab进行了仿真。

最终使系统响应的超调量小于t t调整到了最好的状态，精确的满足了所要求的各个系统性能指标。

通过本20%，将,p s次实习，我们建立了理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固了所学的控制理论知识。

在实验开始阶段，由于对PID控制器各个参数的控制原理及作用不甚明了，没有将系统的时域性能指标与响应的仿真波形相结合，导致盲目调整，给实验的进行带来了极大的困难。

但是在后期通过查阅相关资料书籍，并结合所学知识，逐步对PID控制器各参数的控制围进行了进一步的确定，从而得到了使系统响应波形满足控制要求的参数。

以下即我们通过实习，对PID 控制器及其参数调整所做出的总结：1. PID 控制的原理和特点在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID 控制，又称PID 调节。

当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID 控制技术最为方便。

PID 控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制的。

比例（P ）控制比例控制器的传递函数为()c p G s k =比例控制器是一种最简单的控制方式。

其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。

它的作用是调整系统的开环增益，提高系统的稳态精度，加快响应速度。

当比例控制值增大时，系统的时间常数和阻尼系数均减小，但是过大的开环增益不仅会使系统的超调量增大，而且会使系统的稳定裕度变小，对高阶系统来说，甚至会使系统变得不稳定。

仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-state error ）。

积分（I ）控制积分控制器的传递函数为：1()c i G s T s= 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。

对一个自动控制系统，为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。

积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。

这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。

采用积分器可以提高系统的型别，消除或减小系统的稳态误差，使系统的稳态性能得到改善。

但是单独引用积分器会影响系统的稳定性，并使系统的反应速度降低。

因此，比例+积分(PI)控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。

微分（D ）控制微分控制器的传递函数为：()c d G s T s在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。

自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。

解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。

这就是说，在控制器中仅引入 “比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。

所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。

2.本实验中PID 控制器的参数整定过程及经验实验中，首先通过计算系统的特征方程式，应用劳斯稳定性判据计算出PID 控制器的参数起始围，此时所得到的计算数据并不能使系统达到所需要求，必须经过系统模拟进行调整和修改。

因此通过对控制系统进行simulink仿真试验，使输入脉冲r（t）=10（t）（为使系统的超调量更加清晰直观便于计算），根据PID控制器各参数的作用进行调整，使系统响应曲线满足要求的超调量围。

然后，将阶跃输入除去，加入扰动。

由于实际扰动是力，但本实验所要求的扰动为摆杆角度，并不能通过角度得知力的大小，故本系统所加的扰动为角度，且需将此扰动作为输入量进行试验，经反复调整，对控制器参数进行整定与完善，使系统在阶跃输入和增加扰动两种情况下均满足控制要求。

在调整过程中，按照先比例，再积分，后微分的顺序，即先提高系统的稳态精度，加快响应速度，再减小系统的超调量，从而将PID控制器参数确定在某个大致围，再经过小围反复调整可以更迅速的将系统调整到使之满足控制要求的围。

参考文献：《MATLAB运用参考与指南》，《自动控制学习指导》，电子大学《自动控制原理》，清华大学。