εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=0
17
由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部
分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。
因而总的形变分量为：
x
1 E
[ x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( x
z )] T
z
1 E
[
z
( y
x )] T
(8)
yz
2 E
(1 ) yz
q dQ S dt
q 熱流密度 S 等温面面积
5
熱流密度的矢量表示为
q
n0
dQ dt
S
(3)
5. 热传导基本定率 热流密度与温度梯 度成正比且方向相反。
q T
(4)
λ为导热系数 . 由上述公式(1)、(3)、(4)得
d Q T S
d t n
(5)
6
式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下 通过等温面单位面积的热流速度。
2u x 2
1
2
2u y 2
1
2
2v xy
(1 )
T x
0
2v y 2
1
2
2v x 2
1
2
2u xy
(1 )
T y
0
又据平面问题的应力边界条件得：
u l1( x
v y )s
l2
1 2
( u y
v x )s
l1(1 )T
l2
(
v y
u x
)s
l1
1 2
( u y
v x
)s
l2(1 )T
y 3 yx 2
x
即为
2
(
2
)
(1 )
T
x x 2 y 2
x
y
2
( x 2
2
y 2 )
(1 )
T y
又u.v都是常量，所以取：
2 2 (1 )T
(16)
x2 y2
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方
程(14)的一组特解。
26
将
u x
v
y
及式（16）代入式（12）得相应与位移特解的应
根据热量平衡原理得：
c T d x d y d z d t ( 2T 2T 2T ) d x d y d z d t
t
x 2 y 2 z 2
化简得：
T
2T (
2T
2T )
W
t c x2 y 2 z 2 c
记
a c
称为温度系数,上式可简写为：
T 2T 2T 2T W
a( )
t
x2 y 2 z 2 c
zx
2 E
(1 ) xx
xy
2 E
(1 ) xy
18
如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力 作用，只有变温T的作用且变温T是x和y的函数。
因而有 z 0, yz zx 0
并由式（8）得出用应力分量与变温T所表示的形变分 量的物理方程，即热弹力学物理方程：
x
1 E
( x
y )
力分量：
x'
E
1
2
y 2
' y
E 1
2 x 2
' xy
E 1
2 xy
位移的补充解u’’.v’’满足式（14）的齐次方程
2u'' 1 2u'' 1 2v'' 0 x 2 2 y 2 2 xy
2v'' 1 2v'' 1 2u'' 0
y 2 2 x 2 2 xy
27
相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0
' xy
'' xy
满足应力边界条件。
在平面应变条件下，将上述各方程中的
E换成
E
1 2
换成
1
α换成
α(1+ )。
29
第六节 轴对称温度场平面热应力问题
下面分析轴对称温度场引起的平面热应力问 题，对于该类问题，由于只存在位移分量 ，故可 直接按位移法求解。设圆筒的内外径分别为a, b， 不考虑体积力平面应力问题平衡微分方程
得出
'' x
E
1 2
u '' (
x
v '' )
y
'' y
E
1 2
(
u '' x
v'' ) y
'' xy
E v '' (
2(1 ) x
u'' ) y
从而得总的位移分量：
u = u’+ u’’ v = v’+ v’’ 并满足位移边界条件。
28
总的应力分量：
x
' x
'' x
y
' y
'' y
xy
2T y 2
d
x
d
y
d
z
d
t
由ABCD 和A’B’C’D’ 两面传入的静热量为：
2T z 2
d
x
d
y
d
z
d
t
因此，传入微小六面体的总静热量为：
( 2T 2T 2T ) d x d y d z d t
x 2 y 2 z 2
11
假定物体内部有正热源供热，在单位时 间单位面积供热为W,则物体在时间dt内产生 的热量为Wdxdydzdt
由式（1）和（4）知
q T
n
热流密度在坐标轴上的投影
qx
T n
cos(n, x)
qy
T n
cos(n, y)
(6)
qz
T n
cos(n, z)
7
式（6）与式（2）比较得
qx
T x
qy
T y
(7)
qz
T z
式（7）表明，热流密度在任一方向上的分量，
等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。
8
第二节 热传导微分方程的推导
1 E
(
) T
1 E
(
) T
可表示为
E 1
2
(
)
E 1
T
E
1 2
(
)
E 1
T
代入 再代入
d u
d
,
u
0
得按位移求解轴对称热应力的基本方程：
d2 u
d 2
1
d u
d
u
2
(1 )
dT
d
32
上式改写：
d
d
1
d
d
(u )
(1 )
dT
d
积分两次可得到轴对称问题位移分量：
u
(1 )
a
T
d
c1
c2
式中c1, c2 为任意常数，积分下限可取圆筒内径a。
33
由上式可得应力分量：
E 2
a
T
d
E
1
2
[(1
)c1
(1
)
c2
2
E 2
a
T
d
E 1
2
(1
)c1
(1
)
c2 2
ET
0
在无面力条件下，由边界条件
( )a 0
( )b 0
可求出积分常数：c1
这就是热传导微分方程。
12
第三节 温度场的边值条件 为了能够求解热传导微分方程，从而求得温 度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即 所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体 表面与周围介质之间热交换的规律, 即所谓边界 条件。二者合成边值条件。 初始条件一般表示如下：
(T)t=0=f(x,y,z)
(qn)s=β(Ts-Te) 其中：β 放热系数
Ts 物体表面温度
Te 周围介质温度
或
(qn )s
T n
T
n (Ts Te )
15
第四类边界条件 以知两物体完全接触，并以 热传导方式进行热交换。即：
Ts=Te
16
第四节 按位移求解温度应力的平面问题 设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各 点的微小长度发生应变αT，α为线热胀系数, 弹性体 内各点的形变分量为：
9
在时间dt内，由六面体ABA’B’ 面传入的热量 为qxdxdydzdt ,由CDC’D’面传入的热量为
(qx
qx x
d
x)d
y
d
z
d
t
传入的静热量为：
由式
qx d x d y d z d t x
qx
T x
qx x
d
xd
yd
zdt
2T x 2
d
xd
ydzdt
10
同样可得：
由ADD’A’ 和BCC’B’ 两面传入的静热量为：
(1 )
b2 a2
b
T a
d
,
c2
(1 )a2
b2 a2
b
T d
a
(17)
34
将它们代入(17)得:
E 2
2
b2
a2 a2
b
T d
a
a T d
E 2
2 a2 b2 a2
b
T d