定义1- n个命题变元的析取式，称为布尔析取 或极大项，其中每个变元与它的否定不能同时 存在，但两者必须出现且仅出现一次。
例如，2个命题变元p和Q 的大项为：p q，p q，p q，p q
3个命题变元p、Q、R的大项为： p q r，p q r，p q r，p q r， p q r，p q r，p q r，p q r
(1)每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为0， 其余的2n－1种赋值均为1;
(2)任意两个不同大项的析取式永真：M i M j 1 (i j)
(3)全体大项的合取式必为假，记为：
2n -1
M i M0 M1 M 2n-1 0
i0
定义1- 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式仅由极大 项的合取所组成，则该等价式称为原式的主合取范式。
( p q) r (p q) r (p q) r ( p q) r ( p r) (q r) ( p (q q) r) (( p p) q r)
( p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r)
n个命题变元共有2n个大项，每个大项可表示为n
位二进制编码，以变元自身出现的用0表示，以变元的否 定出现的用1表示；且对应十进制编码。这一点与小项的 表示刚好相反。
若n= 2，则有
M00 p q M0 M10 p q M2
M01 p q M2 M11 p q M3
• 真值表法 • 等值演算法
趣味推理题
• A、B、C三人去餐馆吃饭，他们每人要的不是火 腿就是猪排。 （1）如果A要的是火腿，那么B要的就是猪排。 （2）A或C要的是火腿，但是不会两人都要火腿。 （3）B和C不会两人都要猪排。 谁昨天要的是火腿，今天要的是猪排？
只有B才能昨天要火腿，今天( p q r) ( p q r) (p q r)
M 001 M 011 M111
【说明】
(1)主析取范式的析取项为小项，用小m加下标表示。 如m010，其中0表示对应的命题变元的否定出现在析 取项中,1表示对应的命题变元出现在析取项中。
P→Q
1 1 1 1 0 0 1 1
¬R (p→Q)→¬R
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
所以公式 ( p q) r 的主合取范式为:
( p q) r M 001 M 011 M111
( p q r ) ( p q r ) (p q r)
用等值演算方法构成主合取范式的主要步骤如下： （1）将原命题公式化归为合取范式； （2）除去合取范式中所有永真的合取项； （3）合并相同的析取项和相同的变元； （4）对合取项补入没有出现的命题变元，即添加
如(p∧┐p) 的式子，再按分配律进行演算； （5）将大项按下标由小到大的顺序排列。
例1- 用等值演算方法求( p q) r的主合取范式。 解：
(2)主合取范式的合取项为大项,用大M加下标表示,如 M010,其中0表示对应的命题变元出现在合取项中,1表 示对应命题变元的否定出现在合取项中。
(3)在真值表中,一个公式的主析取范式由其真值为1的 真值指派所在对应的小项的析取组成。
(4)在真值表中,一个公式的主合取范式由其真值为0的 真值指派所对应的大项的合取所组成。
极小项与极大项
由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
极小项 公式 成真赋值 名称
极大项 公式 成假赋值 名称
p q 0 0 m0 p q
小项的性质如下：
（1）每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为1， 其余的2n－1种均为0;
（2）任意两个不同小项的合取式永假：mi m j 0 （3）全体小项的析取式永为真，记为：
2n -1
mi m0 m1 m2n -1 1
i0
(i j)
主析取范式的求法
定理1- （主合取范式存在惟一定理） 任何命题公式的主合 取范式一定存在，并且惟一。
由真值表方法可知：一个公式的真值为0的真值指派所 对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。
例1- 用真值表方法求 ( p q) r 的主合取范式 解: 公式的真值表如下
PQ R
00 0 00 1 01 0 01 1 10 0 10 1 11 0 11 1
第一章 命题逻辑
第七讲
内容回顾
定义 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式 仅由小项的析取所组成，则该等价式称为原式的主析 取范式。
小项
定义 n个命题变元的合取式，称为布尔合 取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时 存在，但两者必须出现且仅出现一次。
每个小项可用n位二进制编码表示。以变元自身出现 的用1 表示，以其否定出现的用0表示：
m000 p q r , m100 p q r,
m001 p q r , m101 p q r ,
m010 p q r , m110 p q r ,
m011 p q r , m111 p q r .
若n= 3，则有:
M000 p q r M0 M001 p q r M1 M010 p q r M2 M011 p q r M3
大项的性质如下：
M100 p q r M4 M101 p q r M5 M110 p q r M6 M111 p q r M7