引言
• 用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示，
显示信号随时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短 以及信号是否按一定的时间间隔重复出现等。
• 用频率作为变量描述信号称为频域描述，揭示了信号各
个频率分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范 围等特性。 • 信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面 对信号进行描述， • 在正交函数的基础上对时域信号的进行分解。最常用的 分解就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析。
解答：
1
f t
函数f t 在区间 0,2 内近似为 f t c12 sin t
o
1

2
t
(a)
9
为使方均误差最小，c12应满足
c12 0 2 2 sin tdt 0
所以
f t 4
2
f t
4
f ( t )sin t d t

4


1
o
0
2
cos t sin t d t 0
所以
c12 0
即, 余弦函数 cos t不包含正弦信号 sin t分量， 或者说 cos t 与 sin t 两函数正交。
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正交函数集
信号的分解是在正交基底函数下进行分解，那么任意信号 f(t)就可以分解为n 维正交函数之和：
f (t ) C1g1 (t ) C2 g2 (t )
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7-1-1 信号的正交分解
• • 总结 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是
c12=0即：
t
t2
1
gi ( t ) g j ( t )dt 0
i j
凡是满足上面两式的函数称为正交函数 • 对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定满足 正交。
12
【例题7-2】试用正弦函数 sin t 在区间 0, 2 内来近似表 示余弦函数 cos t 解： 由于
1 4

2
t

sin t
(a)
4 近似波形是振幅为 的正弦波, 如图虚线所示。

10
7-1-1 信号的正交分解
若 C12为零，由上式分母不能为零，成立的条件是：
t
t2
1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt 0
此时，f1(t) 、f2(t) 称为互为正交的函数，表示 f 1(t) 函数 中不含有 f2(t)的信息或者分量，同理， f2(t) 函数 中不含 有f1(t) 的 的信息或者分量。 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。
f e t f e t e : even f o t f o t o : odd
三．脉冲分量之和
在时域系统中任何信号都可以表示为移位冲激信号 (t k )的线性、加权组合，即
x(t )
k
[ x(k ) ] (t k )
Z
y f x
y1
O
z1
z f x, y
y1
x1
X正交分解
三维信号的正交分解
6
7-1-1 信号的正交分解
设 f1 (t ) , f 2 (t ) 为两个任意信号,如图所示
f1 ( t ) t t1 0 t2
信号的波形
f 2 (t ) t t1 0 t2
两个任意信号间的关系:
原函数
Cr gr (t )
近似函数
c12V2 Ve
V1
Ve 2 Ve
Ve1
V2
c 2V2
c12V2 c1V2
怎样分解，能得到最小的误差分量？ Ve V2 V1 c12V2 Ve 误差矢量 c12V2 V1 cos(V1V2 )
V1 cos(V1V2 ) V1V2 cos(V1V2 ) V1 V2 c12 V2 V2V2 V2 V2 系数 V1 V2 0 即 c12 0 两矢量正交
1
7-1 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解 为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为 不同的分量。 一．直流分量与交流分量
f (t )
E
O

t
O
f A (t )

E t
O
f D (t )
t
2
二．偶分量与奇分量
f e (t ) : 偶分量 f (t ) f e (t ) f o (t ) f o (t ) : 奇分量
5
7-1-1 信号的正交分解
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量， •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。
•一个三维空间矢量V xi yj zh ，必须用三个正交的
矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：
V xi yj ,
Y
Ve zh 0
C12
t
t2
1
f1 (t ) f 2 (t )dt
t
t2
1
f 22 (t )dt
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【例题7-1】设矩形脉冲 f t 有如下定义 0 t 1 f t t 2 1
波形如图(a)，试用正弦波 sin t 在区间 0, 2 之间内近似表 示此函数，使方均误差最小。
f1(t ) C12 f2 (t ) fe (t )
若设 f1(t ) C12 f2 (t ), 则误差函数 fe (t ) f1(t ) C12 f 2 (t )
在此定义 C12 为两个信号的相关系数.
7
7-1-1 信号的正交分解
在对信号的分解过程中，需要遵循信号能量误差最小的原 则，也就是说 f e(t)的均方值 2 应该最小。令 2 为误差 函数的均 方值 , 则 t2 2 1 2 2 fe (t ) fe (t )dt t2 t1 t1 从而求得相关系数C12的大小:
3

四．正交函数分量 如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号 的各分量就是相互正交的。 把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统 理论中占有重要地位，这将是本科程讨论的主要课题 对信号进行分解处理的信号(函数)称为基底函数.
4
矢量的正交分解
V1用V2表示， 方式不是唯一的：
V1 c1V2 Ve1 c2V2 Ve 2