Hk x ( x1, x2 ,L , xk1, k , 0,L , 0)T
推导：x ( x1 , x2 ,L , xn )T 0
y ( x1 ,L , xk1 , k , 0,L , 0)T
n
1
k sign( xk )( xi2 )2 ,
ik
sign(
xk
)
1 1
xk 0 xk 0
U (k ) x y (0,L , 0, xk k , xk1 ,L , xn )T
1
Hk I k
U (k ) (U (k ) )T
其中
k
1 U (k )TU (k ) 2
k ( k
xk )
特别，取k 1.
x ( x1, x2 ,L , xn )T Rn , x 0, 可构造H阵，
n
1
其中 i sign( xi ) x 2 sign( xi )( xk2 )2 ,
k 1
1 sign( xi ) 1
xi 0 xi 0
U x y x iei ( x1,L , xi i ,L , xn )T ,
构造初等反射阵
H
I 2WW T
I
2
UU T U2
I
1 UU T
使Hx y 1e1 (1 , 0,L , 0)T Rn
n
1
其中
1 sign( x1 ) x 2 sign( x1 )(
x
2 i
)
2
,
i 1
sign(x1 )
1 1
x1 0 x1 0
U (1) x 1e1 ( 1 x1 , x2 ,L , xn )T ,
可构造初等反射阵
变换阵. H
1 2w12 2w2w1
L
2w1w2 1 2w22
L
L L L
2wnw1 2wnw2 L
2w1wn 2w2wn
L
1
2wn2
T
例：W
1 2
0
1 2
R3 ,||W ||2 1
1
H I 2WW T I 2
2 0 1
1 2
0
1 2
2
0 0 1
解 : 3 sign( x3 ) x 2 4 0 4 1 3,因x3 2 0,
故取K 3 3 于是y 3e3 Ke3 (0, 0, 3, 0)T ,
U x y (2, 0, 5,1)T , 3( 3 x3 ) 3(3 2) 15
1UTU 2
11 0 10 2
H1 I 2WW T
I
2
U1U1T U1 2
I
1
U1U1T
有H1 x y 1e1
其中
1
1 2
U1T U1
1 2
(( x1
1 )2
x22
...
xn2 )
1 2
(2 x11
2
2 1
)
1( x1
1)
例：已知向量x (2, 2,1)T , 试构造初等反射阵 使y Hx最后一个元素为零。
解 k 2,构造H2
5 2 5
H2
5
1 2
5
0
0
0 (4 2 5) (2 5)
H I 1 UU T
1
0
1
0
0
15 10 0 10 5
2
0
5
14
2. 构造H阵,将向量x ( x1 ,L , xk , xk1 ,L , xn )T 的后面n k个分量约化为零(1 k n)。
即：任给定x ( x1, x2 ,L , xn )T 0, 构造Hk Rnn , 使
1
2 sign( x2 )( x22 x32 )2 5
U (2) (0, 2 x2 , x3 )T (0, 2 5,1)T
2 2 ( x2 2 ) 5 2 5
于是 H2 x ( x1 , 2 , 0)T (2, 5, 0)T
计算 H2 ,
பைடு நூலகம்H2
I
1
2
U (2) (U (2) )T
有Hx y iei
其中
1 UTU 2
1 2
(
x12
... ( xi
i )2
L
xn2 )
1 2
(2xi i
2 i2
)
i ( xi
i
)
例 已知向量x (2, 0, 2,1)T , 试构造Householder阵, 使Hx Ke3 , 其中e3 (0, 0,1, 0)T R4 , K R。
2w1wn 2w2wn
L
1
2wn2
（3）镜映射 几何意义
平面 方程 W T x 0 x
若 x , Hx (I 2WW T )x x 2WW T x x
若 y , Hy H( x kW ) x k(I 2WW T )W
x kW 2kWW TW x kW y
xT y yT x
1. Householder变换可以将给定的向量变为一个 与任一个ei Rn(i 1, 2,L , n)同方向的向量。
即：x ( x1, x2 ,L , xn )T Rn , x 0, 可构造H阵，
使Hx
y
iei
(0, ..., 0, i , 0,L
, 0)T Rn
W y x kW
x
y x kW
H阵的作用：
定理 设两个不相等的n维向量x, y Rn , x y,
但 x y ,则存在householder阵
2
2
UU T
H I2 U 2
2
使Hx y，其中U x y。 W
x
x y
y
证：若设W U ，则有 W 1，因此
U
2
I
H 2
2
I 2WW T
第7章 矩阵特征值问题
k 1,2,3,
1. Householder变换与矩阵的正交分解
一、初等反射阵(Householder变换阵)
定义 设非零向量W Rn ,W (w1, w2 ,L , wn )T , 且满足条件 W 1,形如
2
H I 2WW T
的n阶方阵称为初等反射阵, 或称为Householder
0
1
0
1 0 0
H阵的性质： （1）非奇异 det(H ) 1
（2）对称正交 H HT HH T H 2 (I 2WW T )(I 2WW T ) I 4WW T 4WW TWW T I
H
1 2w12 2w2w1
L
2w1w2 1 2w22
L
L L L
2wnw1 2wnw2 L
(x y) x y 2
( xT
yT
I )
UU T 2 U2
2
Hx
x
2
( x2 y) x y 2
2
( xT yT )x
x2(x
y)( xT x x y
2
yT x)
2
因为 x y 2 ( xT yT )( x y) 2( xT x yT x)
2
代入上式后即得到Hx y Q xT x yT y,