3.量词的否定
3）a）┐(XP(X)) X┐P(X) b）┐( XP(X)) X┐P(X) 证法1： a)‘并非对任意x， P(X)是真’ 等价于‘至少存在一 个x，使P(X)为假’。 b)‘并非存在一个x，使P(X)为真’等价于‘对所有的x， P(X)为假’。 注： （1）从上述公式可以看出，X和X具有对偶性 （将X与X互换，可看出） （2）出现在量词之前的否定，是否定量词。而是否定 被量化了的整个命题。 证法2 返回
一.
谓 词
1．定义：代表客体（描述对象）的变元叫客体（个体）变元。 客体（个体）变元常用x， y， z， u，v…… 表示，刻划客体的性质或几个客体间关系的模 式叫谓词(性质或关系）常用大写字母A， B， …… ，P，Q ,……表示。 例：A表示 ‘是大学生’ 则A(x)表示‘x是大学生’这个命
题变元 B表示 ‘生于’ 则B（x,y）表示‘x生于y’这个命题变 元 C表示 ‘……=…*…’ ，则C(x,y,z)表示‘x=y*z’这个 命题 变元
例2：XP(X) Q(X) 可改为YP(Y) Q(X)
例3：X(A(X)B(X，Y))C(X)D(W) 可改为： X(A(X)B(X，Y) )C(Z) D(W) 注意： Z(A(Z)B(Z，Y) ) C(X) D(W)不可改为： Y(A(Y)B(Y，Y) ) C(X) D(W)
4.量词辖域的扩展和收缩
例2：XY(P(X)→Q(Y )) ( X P(X) → YQ(Y))
证明： XY(P(X)→Q(Y )) XY(┐P(X) Q(Y )) X (┐P(X) Y Q(Y )) X┐P(X)YQ(Y )) ┐ X P(X) Y Q(Y ) X P(X) → YQ(Y)
5.
举例
e.每个建筑物都有一些装饰品
解：设A( X )为‘X是建筑物’ , B(X,Y)为‘X有Y’， C( X ) 为‘ X是装饰品’， 则可译为： X( A(X) → Y( B(X,Y) C( Y ) )
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三.量化断言和命题的关系
1.若论域是有限的，设是{1， 2…，N} 则XP(X) P(1) P(2) … P(N) XP(X) P(1) P(2) … P(N) 2.若论述域是可数无限 则XP(X) 为P(0)P(1) P(2) … P(N) … XP(X) 为P(0)P(1) P(2) … P(N) … 例：(X)(P(X)Q(X)R，(X)(P(X)Q(X)） S(X)是 命题吗？
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第二章第二节目录
第2节 谓词演算的永真公式
一.基本定义 二.谓词演算的基本永真公式
上一节
下一节
一.
基 本 定 义
1.公式A和B在个体域上等价定义：
对公式A和B中的谓词变元（包括命题变元），指派任 一在E上有定义的确定的谓词，指派E中任一确定的个 体，若所得命题有相同的真值，称在E上AB。
2.A与B等价定义： 若两公式A，B在任意论述域上都等价，称AB。 3 返回目录
A(x)，B(x,y)，C(x，y，z)称为谓词
一.
谓 词
2.定义：有N个客体变元的谓词称为N元谓词 客体的取值范围叫论域 例：论述域a{人}，b{人，地名}，c{实数，实数，实数} 注意：空集不能作为论述域 若A代表一特定谓词，A称为谓词常元。 若A 代表任意谓词，A称为谓词变元。 注：(1)单独的客体或单独的谓词不能构成命题 (2)在谓词命名式中,若谓词是常元,个体变元代以 论述域中某客体才成为命题 (3)命题是0元谓词
4.量词辖域的扩展和收缩
4）a.XA(X)P b.XA(X)P c.XA(X)P d.XA(X)P X(A(X)P) X(A(X)P) X(A(X)P) X(A(X)P)
这里P是不含自由变元X的谓词公式。 证明：a.因P的值与x无关。若P为真，等价式两边都真。 若P为假，两边也都为XA(X)。
二.
3．量词的作用
量 词
在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量 化或全称量化。 将谓词F(x)变成命题有两种方法。 a.将x取定值 例：F(x)表示‘x是质数’，那么F(4)是命题（假）
b.将谓词量化 例：1). xF(x) F(x)：任意的x是质数 2). y(y<y+1) 3). y(y<y+1) 返回目录
解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则 译为: ┐(x (M(x) ┐F(x))) b. 某些人对某些食物过敏 解：设F(x,y)为‘x对y过敏’,M(x)为‘x是人’, G(x)为‘x是食物’,则译为: x y (M(x) G(x) F(x,y)) 返回
5．
举 例
c.尽管有人聪明，但未必一切人聪明 解：设M(x)为‘x是人’,F(x)为‘x聪明’则译为: x(M(x)F(x))┐x(M(x)→F(x)) d.如果X>Y，并且Z > 0，那么XY>YZ 解：设 > ( X,Y ) 为‘X>Y’，R( X )为‘X是实数’ 则译为 ： XYZ(R(X)R(Y)R(Z)→ ((>(X,Y)>(Z,0))→>(XY,YZ)) 返回
作业讲评：第一大题要写出证明。证明过程要写根据。
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四.
1.原子公式
谓 词 公 式
定义：不出现命题联结词和量词的谓词命名式 P(X1, X2…Xn)称为谓词原子公式。
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2. 谓词演算的合式公式
谓词演算的合式公式简称谓词公式 定义: 1)谓词原子公式是谓词公式 2)若A， B是谓词公式，则 (┐A)，(AB)，(AB)，(A→B)，(AB)， (XA)和(XA)是谓词公式 3)只有有限次应用步骤1）和2）构成的公式才是谓词 公式 注：由定义知，命题公式也是谓词公式 例：XR(X) ┐( XR(X) ) (XR(X)→ XS(X) ) ┐( XR(X) XS(X) ) AB C 命题公式均是谓词公式 返回目录
3.约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。 2.改名时所选用变元必须是量词辖域内未出现的，最好 是公式中未出现的。
注：对自由变元换名，可称为代入 例 返回目录上一页26 下一页28
3.约束变元改名规则
例1：X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 可改为 X(P(X，Y)→ZR(X，Z) )
定义：在量词X，X辖域内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。 变元的非约束出现称为自由出现,称这样的变元 为自由变元。
例
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2.自由变元与约束变元
例：指出下列谓词公式中的自由变元和约束变元。 并指明量词的辖域 a.X(P(X) R(X) )→XP(X) Q(X) 解：表达式中的X(P(X)R(X))中X的辖域是 P(X) R(X),其中的X是约束出现 Q(X)中的X是自由变元 b. X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 解：其中的P(X，Y)中的Y是自由变元，X是约束变元， R(X，Y)中的X，Y是约束变元。 注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。 返回
例： ┐Q(X) ┐ XP(X) ┐(Q(X) XP(X)) 返回
2.含有量词的永真谓词公式
1).XA A XA A 这里A不含自由变元X 例 XP(y，z) P(y，z) 但是：yP(y，z) P(y，z)(不一定成立) 2).a.XP(X) P(Y)或XP(X) P(X) b.P(Y) X P(X)或P(X) P(X) c.XP(X) XP(X) 证： a.对XP(X)为真，则对某一具体Y，P(Y)为真 b.对某一确定的Y，P(Y)为真，即则存在一X，使 P(X)为真 c.XP(X) P(X) X P(X) 2) 返回
五. 自由变元与约束变元
1.量词的辖域 定义:量词的辖域是邻接量词之后的最小子公式，故除 非辖域是个原子公式，否则应在该子公式的两端 有括号。
例：XP(X)→Q(X) X的辖域是P(X)
X(P(X,Y)→Q(X，Y) ) P(Y,Z) X的辖域是P(X，Y)→Q(X，Y)
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2.自由变元与约束变元
二谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式 2.含有量词的谓词演算的永真公式 3.量词的否定 4.量词辖域的扩展和收缩 5.结束量词的分配公式 6.量词对→及的处理 7.关于多个量词的永真式
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1. 永真谓词公式
1. 永真命题公式也是永真谓词公式
例： XP(X)→XR(X) ┐XP(X) XR(X)
第二章第一节目录1
第二章谓词逻辑 第一节谓词和量词
一.谓词 二.量词
1. 全称量词x 2．存在量词x 3．量词的作用 4．全总个体域 5．举例 三.量化断言和命题的关系
上一节
第6节目录第2部分
第二章第一节目录2
第二章谓词逻辑 第一节谓词和量词
四. 谓词公式 1.原子公式 2. 谓词演算的合式公式 五. 自由变元与约束变元 1.量词的辖域 2.自由变元与约束变元 3.约束变元改名规则
二.
1.全称量词x
量 词
x读作‘对任意x’ xP(x)表示‘对一切x,P(x)为真’ ┐x┐P(x)表示 ‘并非对任意x, ┐P(x)是真’
返回第一节目录1
二.2．存在量词x量 词x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’
┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’ 返回目录
一.
基 本 定 义
3.对任一公式A，若在论述域E上，对A中的谓词和个体变 元进行指派后(个体变元与谓词变元的所有组合），所得 命题： 1)都真。称A在E上永真或在E上有效，若E任意，称A永真。 2)至少一个为真，称A在E上可满足。 3)都假，称A永假或在E上不可满足。 若E任意，称A永假或不可满足。 注：当谓词公式A的个体域有限，谓词变元的指派也有限， 才能用真值表判定A是否为永真。 例 返回