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第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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第二章 二元关系
本章讨论的关系是我们通常的诸 如大小关系、整除关系、上下级 等关系的共同的数学模型，掌握 关系运算极其关系运算的性质、 实际意义.深入理解关系、关系图、 关系矩阵之间的联系，熟练地掌 握两类特殊的关系—等价关系与 偏序关系；熟练地用Warshall算 法求关系的传递闭包；理解映射 的意义，本章为第三、六、七章 的基础.
本章小结
1.本章我们给出笛卡尔积的定义，并在此基础上 抽象出关系的概念、给出了关系的表示方法及 关系的运算；特别是关系的复合、关系的闭包、 关系的性质极其在关系图上，矩阵上的反映.在 讨论关系的闭包时，传递闭包较为复杂、 Warshall算法是求有限集合上的二元关系的传 递闭包的有效算法.
2.本章还介绍了两类特殊的关系—等价关系与偏 序关系，这两类关系在第六、七章中将会被用 上.映射是作为特殊的关系引进的，它是高等数 学所讨论的单值函数的推广，也是第六、七章 所不可缺少的.
5.考虑了关系的闭包与关系的其它运算的联 系.
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第六节 等价关系
等价关系是一类最为重要的关系，因为 等价关系与集合的分类密切相关,内容有 1.以同余关系为例给出等价关系的定义; 2.给出了商集的概念 3.主要结论是:等价关系与集合的分类相互 惟一确定;
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1.一些特殊的关系,如空关系、恒等关系、全关 系;
2.关系的运算,如关系的并、交、补、差、对称 差极其运算规律;
3.有限集合上的二元关系的两种表示方法(即关 系矩阵与关系图),
4.为了用关系矩阵来研究关系,我们定义了布尔
矩阵的概念及布尔矩阵的三种运算(即布尔非、
布尔与、布尔或).
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第五节 关系的闭包(2)
本节的内容较丰富,主要有:
1.给出了关系的自反闭包、对称闭包、传递 闭包的定义;
2.从理论上证明了自反闭包、对称闭包、传 递闭包的存在性，其中传递闭包较为复杂， 是本节重点;
3.给出了上述三种闭包的具体计算公式;
4.Warshall算法是求有限集合上的二元关系 的传递闭包的有效算法;
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第五节 关系ห้องสมุดไป่ตู้闭包(1)
我们希望某个关系具有比较好的性质，比如我 们希望它具有自反性，对称性，传递性.但如 果该关系又不具有上述性质，那么我们就要对 该关系进行适当的改造，即在该关系中适当添 加一些元素得到一个新的关系，使这个新关系 具有我们需要的性质，同时新关系与原来的关 系不要相差得太多，这样就要求我们添加的元 素既要使新关系满足要求又要尽可能地少添加 元素.通过适当添加元素来扩充原关系,使得到 的具有我们需要的性质的新关系称为原关系的 闭包，我们通常考虑关系的三种闭包，即自反 闭包，对称闭包，传递闭包.
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第七节 偏序关系
数的大小，集合中元素的排列次序，计算机程 序的执行顺序等都牵涉到次序关系，这些在数 学上都表现为序关系的研究,本节主要内容有:
1.具有自反性、反对称性、传递性的关系称为偏 序关系;
2.偏序关系的简化关系图—哈斯图,哈斯图与原 图的关系是一种压缩与解压缩的关系;
3.由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书 中定理2.7.1);
4.偏序集中的一些特殊元素,如最大、最小元,极 大、极小元,上界、下界等;
5.一些特殊的偏序关系,如全序关系,良序关系等.
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2020/2/14
第八节 映射
映射是高等数学中所研究的单值函数的 推广，因此映射也称为函数，这里我们 把映射视为一种特殊的二元关系,内容有: 1.映射的定义、象与原象、定义域与值 域、映射的相等、映射的限制与扩充; 2.一些特殊的映射,如满射、单射、双射.
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第四节 关系的性质
本节我们讨论关系的一些常见性质，主要内 容是:
1.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性的定义;
2.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性等在关系矩阵及关系图上的反应，其 中用关系矩阵及关系图来判断传递性较为困 难;
3.讨论了关系的各种运算对上述特性的影响.
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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第一节 序偶与笛卡尔积
本节是通过n元有序组的概念来定义序 偶与笛卡尔积的概念，主要讨论两个集 合的笛卡尔积，它是讨论二元关系的基 础.得出笛卡尔积的一些最基本的结论.
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第二节 关系的概念
本节在笛卡尔积的基础上给出二元关系定义,并 推广成n元关系,不过我们以讨论二元关系为主. 主要内容为: