线段 FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．
2．已知如图，抛物线 y=x2+bx+c 过点 A（3，0），B（1，0），交 y 轴于点 C，点 P 是该抛 物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动（点 P 不与点 A 重合），过点 P 作 PD∥ y
∵ B3,0, D1,4，
3m n 0
∴
mn 4
，解得： m 2, n 6 ，
∴ y 2x 6 .
连续
CQ
并延长，射线
CQ
交
BD
交于
G
，则
G
3 2
,
3
.
在 COB 向右平移的过程中：
(1)当 0 t 3 时，如答图 2 所示： 2
设 PQ 与 BC 交于点 K ，可得 QK CQ t ， PB PK 3t .
y 2x 6
设
QE
与
BD
的交点为
F
，则：
y
x
3
t
.
解得
x 3t
y 2t
，
∴ F 3t,2t .
S
SQPE
SPBK
SFBE
1 2
PE PQ
1 2
PB PK
1 2
BE
yF
1 33 1 3 t 2 1 t 2t 3 t2 3t .
2
2
2
2
(2)当 3 t 3时，如答图 3 所示： 2
注：抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是 x=﹣ ．
【答案】（1）y= -2x-3；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）把 A,B 两点坐标代入，求待定系数 b,c，进而确定抛物线的解析式；（2） 连接 BE，点 F 是 AE 中点，H 是 AB 中点，则 FH 为三角形 ABE 的中位线，求出 BE 的长， FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点 E 坐标，根据勾股定理可求 BE，再根据三角形中 位线定理求线段 HF 的长． 试题解析：（1）∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（﹣1，0），B（3，0），∴ 把 A,B 两点坐标
代入得：
，解得：
，∴ 抛物线的解析式是：y= -2x-3；（2）∵ 点
E（2，m）在抛物线上，∴ 把 E 点坐标代入抛物线解析式 y= -2x-3 得：m=4﹣4﹣3=﹣3，
∴ E（2，﹣3），∴ BE=
= ．∵ 点 F 是 AE 中点，点 H 是抛物线的对称轴与
x 轴交点，即 H 为 AB 的中点，∴ FH 是三角形 ABE 的中位线，∴ FH= BE= × = ．∴
（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下 方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点 M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】
（1）点 M 为二次函数 y＝﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点， ∴ M 的坐标是（b，4b+1）， 把 x＝b 代入 y＝4x+1，得 y＝4b+1， ∴ 点 M 在直线 y＝4x+1 上； （2）如图 1， 直线 y＝mx+5 交 y 轴于点 B， ∴ B 点坐标为（0，5）又 B 在抛物线上， ∴ 5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得 b＝2， 二次函数的解析是为 y＝﹣（x﹣2）2+9， 当 y＝0 时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得 x1＝5，x2＝﹣1， ∴ A（5，0）． 由图象，得
综上：①当 0＜b＜ 1 时，y1＞y2， 2
②当 b＝ 1 时，y1＝y2， 2
③当 1 ＜b＜ 4 时，y1＜y2．
2
5
【点睛】 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2） 的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得 出顶点 M 的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0 时，点与对称轴的距离越小 函数值越大．
（3）①∠ APD 是直角时，点 P 与点 B 重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点 P 为
在抛物线顶点时，∠ PAD 是直角，分别写出点 P 的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知 MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点 M 为直线 CB 与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线 BC 的解析 式，再求解即可．
4
4
都在二次函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小．
【答案】（1）点 M 在直线 y＝4x+1 上；理由见解析；（2）x 的取值范围是 x＜0 或 x＞
5；（3）①当 0＜b＜ 1 时，y1＞y2，②当 b＝ 1 时，y1＝y2，③当 1 ＜b＜ 4 时，y1＜
2
2
2
5
y2． 【解析】
【分析】
（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；
试题解析：解：（1）∵ 抛物线 y=x2+bx+c 过点 A（3，0），B（1，0），
9 3b c 0
b 4
∴
1
b
c
0
，解得
c3
，∴
抛物线解析式为 y=x2﹣4x+3；
（2）令 x=0，则 y=3，∴ 点 C（0，3），则直线 AC 的解析式为 y=﹣x+3，设点 P（x，x2﹣
4x+3）．∵ PD∥ y 轴，∴ 点 D（x，﹣x+3），∴ PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣
当 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1 时，x 的取值范围是 x＜0 或 x＞5； （3）如图 2， ∵ 直线 y＝4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F， A（5，0），B（0，5）得 直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+5，
联立
EF，AB
得方程组
y y
4x x
1 5
，
解得
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（6 分）（2015•牡丹江）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（﹣1，0），B（3，
0）．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式； （2）点 E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，点 F 是 AE 中点，连接 FH，求线段 FH 的长．
①当 0＜t≤ 3 时，如答图 2 所示，此时重叠部分为一个四边形； 2
②当 3 ＜t＜3 时，如答图 3 所示，此时重叠部分为一个三角形． 2
【详解】
解：(Ⅰ)∵ 点 A1,0 在抛物线 y x 12 c 上， ∴ 0 112 c ，得 c 4 ∴ 抛物线解析式为： y x 12 4， 令 x 0 ，得 y 3 ，∴ C 0,3 ； 令 y 0，得 x 1或 x 3 ，∴ B3,0 .
时，∠ PAD=45°+45°=90°，此时，点 P（2，﹣1）．
综上所述：点 P（1，0）或（2，﹣1）时，△ APD 能构成直角三角形；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分 AB，∴ MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣
MC|＜BC，∴ 当 M、B、C 三点共线时，|MA﹣MC|最大，为 BC 的长度，设直线 BC 的解析
(Ⅱ) CDB 为直角三角形.理由如下：
由抛物线解析式，得顶点 D 的坐标为 1, 4 .
如答图 1 所示，过点 D 作 DM x 轴于点 M， 则 OM 1， DM 4 ， BM OB OM 2 . 过点 C 作 CN DM 于点 N ，则 CN 1， DN DM MN DM OC 1. 在 RtOBC 中，由勾股定理得： BC OB2 OC2 32 32 3 2 ； 在 RtCND 中，由勾股定理得： CD CN2 DN2 12 12 2 ； 在 RtBMD 中，由勾股定理得： BD BM 2 DM 2 22 42 2 5 . ∵ BC2 CD2 BD2 ， ∴ CDB 为直角三角形.
k b 0
k 3
式为 y=kx+b（k≠0），则
b3
，解得：
b3
，∴ 直线 BC 的解析式为 y=﹣
3x+3．∵ 抛物线 y=x2﹣4x+3 的对称轴为直线 x=2，∴ 当 x=2 时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴ 点 M
（2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点 M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．
【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ) CDB 为直角三角形；
(Ⅲ)
S
1 2
3 t2 2 t2
3t(0 t 3) 2
3t 9 ( 3 t 3) 22
.
【解析】
【分析】 （1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点 B，C 的坐标． （2）分别求出△ CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△ CDB 为直角三角形． （3）△ COB 沿 x 轴向右平移过程中，分两个阶段：
(Ⅲ)设直线 BC 的解析式为 y kx b ，
∵ B3,0,C 0,3 ，
∴
解得 k 1,b 3，
∴ y x 3，
直线 QE 是直线 BC 向右平移 t 个单位得到，
∴ 直线 QE 的解析式为： y x t 3 x 3 t ；
设直线 BD 的解析式为 y mx n ，
设 PQ 分别与 BC、BD 交于点 K 、点 J . ∵ CQ t ， ∴ KQ t ， PK PB 3t . 直线 BD 解析式为 y 2x 6 ，令 x t ，得 y 6 2t ，